Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері.

Сызықты емес теңдеулерді сандық шешу әдістері. Жартылай екіге бөлу әдістері

Сызықты емес теңдеулерді шешу.

Ғылыми зерттеу жұмыстарындағы ең жиі кездесетін мәселе

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (10.1)

түріндегі сызықты емес теңдеулерді шешу, мұндағы Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru - алгебралық та, трансценденттік өрнектен тұратын сызық емес функция. Сызықты емес теңдеулерді шешу екі қадамнан тұрады: түбір жатқан аралықтарды анықтау және түбірлерді табу.

Аралықтарды анықтау. Бұл қадамда тек ғана бір түбір жататын аралықтарды анықтаймыз. Келесі қадамда табылған аралықтардағы түбірлерді табамыз.

(10.1) теңдеуінің Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru аралығында түбірі болу үшін келесі шарт орындалуы тиіс

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (10.2)

Бисекция (кесіндіні жартылай бөлу ) әдісі.Бұл әдісте түбірдің алғашқы жуықтауы ретінде Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru нүктесі алынады. Пайда болған екі аралықтан Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru және Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (10.2) шарт бойынша тек түбір жатқан аралық алынады. Осы процедураны Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru рет қайталаймыз, яғни түбір жатқан аралықты Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru рет кішірейтеміз. Интерацияны Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru болғанша жүргіземіз, мұндағы Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -берілген өте аз шама болып табылады.

Хорда әдісі.Бұл жағдайда түбірдің алғашқы жуықтауы ретінде Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru АВ хордасының абцисса осімен қиылысу нүктесі алынады. Қиылысу нүктесінің координатасы Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru және Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru , онда АВ хордасының теңдеуінен

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (10.3)

теңдеудің түбірін табамыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru . (10.4)

Әрі қарай пайда болған Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru және Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru аралықтарынан (10.2) шарт бойынша түбір жатқан аралықты ғана таңдап аламыз. Жоғардағы айтылған тәсіл бойынша келесі жуықтауды Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru табамыз, сөйтіп әрі қарай Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru болғанға дейін қайталай береміз.

Ньютон әдісі.Бұл әдістің жоғардағы айтылып кеткен әдістерден ерекшелігі, түбір жатқан аралықтан берілуі міндетті емес, тек түбірдің алғашқы жуықтауы Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru берілсе болғаны. Жуық түбір болып, бірінші қадам бойынша табылған Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru аралығының бір шеті алынуы мүмкін. Келесі жуық түбір болып Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru нүктесінен Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru қисығына жүргізілген жанаманың абцисса осімен қиылысу нүктесі алынады.

Жанаманың теңдеуі келесі түрде жазылады:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru .

Бұл жерден екінші жуықтау бойынша анықталатын Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru түбірді табуға болады:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru

Келесі жуықтаулар төмендегі формула бойынша есептелінеді:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru . (10.5)

Интерациялық процесс Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru шарты орындалғанға дейін жүреді.

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері.

Физикадағы көптеген практикалық есептер сызықты теңдеулер жүйесін шешуге негізделген. Мысалы:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru теңдеулер жүйесінен тұратын жүйені жазайық:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (11.1)

Жүйе коэффициенттерінің жиынтын кесте түрінде жазамыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ші ретті матрицаның анықтауышы деп, келесі шама айтамыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru

Сызықты теңдеулер жүйесінінің шешімі болу үшін Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru болуы тиіс.

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу негізгі екі топқа бөлінеді: тікелей есептеу және итерациялық. Тікелей әдістерге Крамер және Гаусс әдістері жатады.Итерациялық әдістерге Гаусс-Зейдель әдісі жатады.

Гаусс әдісі.Бұл әдіс жүйе матрицасын үш бұрышты түрге келтіруге негізделген. Гаусс әдісі екі әдістен тұрады: тура және кері әдіс. Тура әдісте белгісіз айнымалыларды біртіндеп жоямыз да, соңғы теңдеуден Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ға байланысты мүшені қалдырамыз. Кері әдісте соңғы теңдеуден Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ді тауып, әрі қарай Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru белгісіз айнымалыларды табамыз.

Келесі жүйе үшін Гаусс әдісін қарастырамыз

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (11.2)

2-ші теңдеудегі Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ді жою үшін 1-ші теңдеуді Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ге көбейтіп, 2-ші теңдеуге қосамыз. Сосын 1-ші теңдеуді Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru көбейтіп 3-ші теңдеуге қосамыз. Сөйтіп келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (11.3)

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru

Енді (11.3) жүйенің 3-ші теңдеуінен Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ні алып тастау үшін (11.3) жүйенің 2-ші теңдеуін Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ге көбейтіп 3-ші теңдеуге қосамыз. Келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru (11.4)

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru

(11.4)-ші жүйенің матрицасы үшбұрышты күйге келді. Осымен Гаусстың тура әдісі аяқталады.

Әрі қарай кері әдіс бойынша (11.4) жүйеден : Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru .

Осы табылған мән арқылы 2-ші теңдеуден Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ні, ал 1-ші теңдеуден Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru -ді табамыз:

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері. - student2.ru .

Наши рекомендации