Уравнение прямой в отрезках по осям

Пусть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рисунок 2.3). Пусть A(a, 0) и B(0, b). Из уравнения (2.5) имеем

= , + = 1.

Рисунок 2.3

Уравнение + = 1 (2.6)

называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.

Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением этого вида.

Рисунок 2.4

2.3 Угол между прямыми на плоскости

Рассмотрим на плоскости две прямые R₁: y = k₁x + b₁ и R₂ : y = k₂x + b₂ с углами наклона к оси Ox соответственно φ₁ и φ₂ (рисунок 2.4).

Определение 2.2. Углом между прямымиR₁ и R₂ будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.

На рисунке 2.4 таким является угол φ. Очевидно, что 0 ≤ φ ≤ . Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами φ₁, φ₂ и φ : φ = φ₂ – φ₁. Возможны два случая:

1) угол φ = , т. е. прямые R₁ и R₂ перпендикулярны;

2) 0 ≤ φ < . Тогда tg φ = tg (φ₂ – φ₁) = = .

Формула tg φ = , где (2.7)

позволяет вычислить угол между не перпендикулярными прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых па плоскости

1) Если прямые R₁ и R₂ параллельны, то φ = 0. Тогда tg φ = 0 и из формулы (2.7) имеем k₂ – k₁ = 0 или k₂ = k₁. Таким образом, условием параллельности двух прямых на плоскости является равенство их угловых коэффициентов.

2) Если прямые R₁ и R₂ перпендикулярны, то φ = . Так как φ = φ₂ – φ₁ , то

φ₂ = + φ₁ и tg φ₂ = tg( + φ₁) = ctg φ₁ = – , т. е.

k₂ = – . (2.8)

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется уравнением линии на плоскости хОу?

2. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

3. Какой знак имеет угловой коэффициент прямой, образующей с положительным направлением оси Ох острый угол? тупой угол?

4. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках наосях?

5. Напишите уравнение прямой в общем виде. Как найти угловой коэффициент этой прямой?

6. Как расположена в плоскости хОу прямая, уравнение которой Ах + Ву = 0; Ах + С = 0; Ах = 0; Ву = 0 (коэффициенты А, В, С отличны от нуля)?

7. Как найти точку пересечения двух прямых?

8. Как убедиться в том, что данная точка принадлежит данной прямой?

9. Как построить прямую, заданную соответствующим уравнением?

10. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей соответствующий угловой коэффициент?

11. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две данные точки?

12. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми на плоскости.

13. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости