Визначений та невласний інтеграли

1. Означення визначеного інтеграла, його геометричний і фізичний зміст, умови існування. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніця. Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Обчислення площі плоскої фігури.

2. Невласні інтеграли першого роду (з нескінченними межами інтегру­вання)

та невласні інтеграли другого роду (від функцій, необмежених на скінченому проміжку).

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

1. Задачі, що приводять до звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Основні поняття і означення.

2. Диференціальні рівняння першого порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні.

3. Диференціальні рівняння другого порядку: лінійні однорідні та лінійні неоднорідні (зі спеціальною правою частиною) зі сталими коефіцієнтами.

ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Числові ряди: основні поняття і означення. Необхідна умова збіжності. Основні властивості збіжних рядів. Дослідження збіжності числових рядів з додатними членами.

2. Достатні умови (ознаки) збіжності додатних числових рядів:ознака порівняння, ознака Даламбера, радикальна ознака Коші.

3. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніця.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Елементи комбінаторикитапоняття ймовірності події, обчислення:

формули комбінаторики-розміщення, перестановки, сполучення; класична формула теорії ймовірностей; обчислення ймовірностей випадкових подій.

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Формула Ньютона - Лейбніця для обчислення визначених інтегралів

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Спосіб підстановки у визначених інтегралах

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru.

Спосіб інтегрування за частинами у визначених інтегралах

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Обчислення площі плоскої фігури.

а) криволінійна трапеція:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

б) криволінійний сектор:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Невласні інтеграли з нескінченними границями

а) невласні інтеграли з нескінченними границями

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru –довільне значення, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – всюди неперервна функція.

Якщо границя такого інтегралу є кінцевою, то такий інтеграл називається збіжним; у разі, коли інтеграл прямує до Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , його називають розбіжним.

б) невласні інтеграли від розривних функцій

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – точка розриву функції, де

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Диференціальним рівнянням (надалі, Д.Р.) називається рівняння, що містить похідні або диференціали невідомої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

Д.Р. вигляду N1(y)M1(x)dx+M2(x)N2(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними.

Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Воно за допомогою заміни змінної Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Þ Визначений та невласний інтеграли - student2.ru зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Його розв’язок розшукується у вигляді Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Приклад 1. Розв’язати задачу Коші (знайти загальний розв’язок диференційного рівняння і частинний розв’язок при заданих початкових умовах):

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв’язання. Запишемо рівняння у диференціалах:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Дане рівняння є рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними (тобто може бути зведене до вигляду, коли з одного боку знака рівності присутня тільки залежна змінна y, а з іншого – тільки незалежна змінна x, таку рівність можна про інтегрувати і отримати загальний інтеграл рівняння).

Виконаємо відокремлення змінних, для чого домножимо рівняння на Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , в результаті отримаємо рівняння з відокремленими змінними

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Проінтегруємо отримане рівняння:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

і отримаємо

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Це – загальний інтеграл рівняння у неявному вигляді. Звідси:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Частинний розв’язок знаходимо за допомогою початкової умови , підставляючи її о загального розв’язку:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ; С=2.

Тоді частинним розв’язком диференційного рівняння є

.

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференційного рівняння при заданих початкових умовах

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним диференційним рівнянням першого порядку.

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ; Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ;

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Накладемо на функцію v умову, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

і знайдемо функцію v з отриманого диференційного рівняння.

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Тепер функцію u знаходимо з рівняння

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

що утворюється в результаті підстановки v = x до початкового рівняння:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Оскільки y = uv, то загальним розв’язком рівняння є

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Константу інтегрування С знаходимо з початкової умови:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Отже, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Приклад 3. Розв’яжіть задачу: знайти криву, яка проходить через точку М(0;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої Визначений та невласний інтеграли - student2.ru дорівнює Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв’язання.

Як відомо, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Тому потрібно розв’язати задачу Коші:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Отже, шукана крива Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Рівняння вигляду Визначений та невласний інтеграли - student2.ru називаються лінійними однорідними Д.Р. Його загальний розв’язок має вигляд Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння. Розшукуємо їх у вигляді Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru - корені характеристичного рівняння Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв’язок:

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

а) D>0 б) D=0, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru = –b/2

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ; Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ;

в) D<0, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – комплексні числа. Визначений та невласний інтеграли - student2.ru

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Рівняння вигляду Визначений та невласний інтеграли - student2.ru називається лінійним неоднорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Для того, щоб знайти загальний розв’язок неоднорідного ДР, необхідно скористатися таким твердженням: загальний розв’язок такого ДР дорівнює сумі розв’язку відповідного однорідного ДР та якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного ДР: Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – загальний розв’язок відповідного однорідного ДР, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – частинний розв’язок неоднорідного ДР. Правила побудови Визначений та невласний інтеграли - student2.ru наведені у таблиці.

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru
степенева частина відсутня Визначений та невласний інтеграли - student2.ru   Визначений та невласний інтеграли - student2.ru при Визначений та невласний інтеграли - student2.ru або Визначений та невласний інтеграли - student2.ru     Визначений та невласний інтеграли - student2.ru при Визначений та невласний інтеграли - student2.ru  
Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru
Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru
Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru
показникова функція відсутня ( Визначений та невласний інтеграли - student2.ru показникова функція відсутня
лише Визначений та невласний інтеграли - student2.ru лише Визначений та невласний інтеграли - student2.ru і Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , і Визначений та невласний інтеграли - student2.ru   і Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , і Визначений та невласний інтеграли - student2.ru
тригонометричні функції відсутні ( Визначений та невласний інтеграли - student2.ru тригонометричні функції відсутні

Приклад 1.Розв’язати задачу Коші: Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним однорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Дискримінант Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Отже, рівняння має один дійсний корінь Визначений та невласний інтеграли - student2.ru подвійної кратності. Тому загальний розв’язок ДР має вигляд

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Для знаходження частинного розв’язку скористаємося початковими умовами. Для цього знайдемо Визначений та невласний інтеграли - student2.ru :

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Отже, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Отже, Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Остаточно отримаємо Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Розв'язання. Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Відповідне лінійне однорідне Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , характеристичне рівняння Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Тоді загальний розв’язок лінійного однорідного ДР буде Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Так як Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – корінь кратності Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , то Визначений та невласний інтеграли - student2.ru ,

Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Звідси Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

Тоді Визначений та невласний інтеграли - student2.ru – загальний розв’язок шуканого рівняння.

Приклад 3. Вказати вигляд (без обчислень коефіцієнтів)частинний розв’язок ЛНДР Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . .

Розв'язання. Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru Визначений та невласний інтеграли - student2.ru .

ЧИСЛОВІ РЯДИ

Нехай Визначений та невласний інтеграли - student2.ru нескінченна послідовність чисел. Вираз Визначений та невласний інтеграли - student2.ru називається числовим рядом.

Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , де Визначений та невласний інтеграли - student2.ru , має кінцеву границю, тобто Визначений та невласний інтеграли - student2.ru . Число Визначений та невласний інтеграли - student2.ru називається сумою ряду.

Наши рекомендации