Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».

Завдання 1.

Знайти невизначені інтеграли. У завданнях а), б), в), г) результати перевірити диференціюванням.

а) .

Розв’язання. Нехай , тоді або . Отже, маємо:

.

Перевірка.

.

Відповідь. .

б) .

Розв’язання. Оскільки , то зробимо заміну . Тоді , і

.

Перевірка.

.

Відповідь. .

в) .

Розв’язання. До заданого інтеграла застосуємо метод інтегрування частинами, скориставшись формулою . Покладемо , а . Тоді , а . За формулою інтегрування частинами маємо:

.

Перевірка.

.

Відповідь. .

г) .

Розв’язання. Підінтегральний раціональний дріб неправильний. Виділимо з нього цілу частину діленням чисельника на знаменник:

Маємо . Розкладемо тепер дріб на елементарні:

1) знайдемо корені квадратного тричлена :

;

; , .

2) за формулою маємо

.

3) . Знайдемо невизначені коефіцієнти і : . З рівності дробів з однаковими знаменниками маємо .

Якщо , то , .

Якщо , то , .

Отже, , а підінтегральний дріб матиме вигляд . Інтегруємо цей вираз

.

Перевірка.

.

Відповідь. .

д) .

Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз:

.

Нехай , тоді , , і заданий інтеграл матиме вигляд:

. Обчислимо кожний із отриманих інтегралів окремо.

. Скористаємось формулою .

.

.

Таким чином, , де .

Відповідь. .

е) .

Розв’язання. Перетворимо добуток тригонометричних функцій у суму за формулою , а потім проінтегруємо одержаний вираз за відомими формулами з таблиці інтегралів і з використанням властивостей інтегралів:

.

Відповідь. .

є) .

Розв’язання. До поданого інтеграла застосуємо підстановку . Тоді , а ; , . Одержимо

.

Відповідь. .

ж) .

Розв’язання. Зведемо заданий інтеграл до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки . Тоді , а . Дістанемо

.

Повертаючись до змінної , одержуємо

.

Відповідь. .

Завдання 2.

Знайти площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

Розв’язання. Побудуємо фігуру, площу якої треба обчислити. Для цього знайдемо координати вершини параболи:

; .

Таким чином, .

Вісь парабола перетинає в точці , а вісь в точках і , координати яких знайдено з рівняння .

-2

Координати точок перетину параболи і прямої знайдемо, розв’язавши систему рівнянь:

; ; ; ; .

Одержали , . Абсциси цих точок є границями інтегрування при обчисленні площі побудованої фігури . Таким чином,

.

Відповідь. .

Завдання 3.

Знайти об’єм тіла обертання відносно горизонтальної асимптоти для кривої , .

Розв’язання. Для кривої горизонтальною асимптотою є вісь , оскільки . Об’єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо осі , обчислюється за формулою

,

де за умовою задачі , , . Отже, маємо

.

Відповідь. .

Завдання 4.

Знайти довжину дуги кривої між точками її перетину з віссю .

Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину даної кривої з віссю . Для цього розв’яжемо рівняння:

: , .

Довжину дуги кривої між точками з абсцисами і обчислимо за формулою . Складемо вираз .

.

.

. Знайдемо невизначений інтеграл

. Отже, .

Відповідь. .