Інтеграли від виразів з квадратним тричленом

При обчисленні інтегралів виду і з квадратного тричлена виділяють повний квадрат і його позначають через (метод заміни змінної).

Приклад 3.15. .

Розв’зання.Виділяємо із квадратного тричлена повний квадрат

Вважаючи , найдемо , . Будемо мати

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій, які мають корені різних степенів від однієї і тієї ж функції, можна знайти, якщо замінити підкореневий вираз новою змінною зі степенем з показником найменшого спільного кратного показників степенів всіх коренів. Розглянемо приклади.

Приклад 3.16. Знайти невизначений інтеграл

Розв’зання.

У відповіді доданок віднесено до постійної інтегрування С. Враховано так само, що

Приклад 3.17. Знайти інтеграл .

Розв’зання.

В даному випадку позбудемось від ірраціональності заміною

Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій

1. Для знаходження інтегралів типу використо-вуються наступні прийоми:

1) підстановка sinx = t, якщо n — ціле додатне непарне число;

2) підстановка cosx = t, якщо m— ціле додатне непарне число;

3) формули зниження порядку:

якщо m і n — цілі невід’ємні парні числа;

4) підстановка tg х = t, якщо m+n — парне від’ємне ціле число.

Приклад 3.18. Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) г)

Розв’зання.

а) Оскільки n — ціле додатне непарне число, то застосовуємо заміну sinx = t. Але перш, ніж її застосувати помножимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на cosx.

Отриманий дріб легко розкладається на суму найпростіших дробів:

б) Оскільки m — ціле додатне непарне число, те застосовуємо заміну cosx =t. Але перш, ніж її застосувати варто перетворити підінтегральну функцію.

в) Щоб спростити підінтегральну функцію, попередньо виконаємо заміну змінної

,

а потім застосуємо формулу зниження степеня:

г) Оскільки m+n — є парне від’ємне ціле число, те застосовуємо заміну tgх = t.

2. Інтеграли типу обчислюються за допомогою відомих формул тригонометрії:

Приклад 3.19. Знайти інтеграл

Розв’зання.

Безпосередньо підставляючи формулу добутку синусів, одержуємо:

Лекція 10. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основні поняття

Означення 1.Якщо функція визначена на відрізку і – розбиття відрізка з відзначеними точками , то сума називається інтегральною сумою функції , відповідної розбиттю з відзначеними точками .

Означення 2. Число називається визначеним інтегралом (Рімана) від функції на відрізку , якщо таке, що для будь-якого розбиття з відзначеними точками , для виконано співвідношення

Позначення

Теорема 1. Неперервна на відрізку функція – інтегровна.