Вероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях

Определение 12.3.Число появлений события А в n независимых повторных испытаниях, имеющих самую наибольшую вероятность, называется наивероятнейшим числом и обозначается k₀.

Пусть k₀ – число появлений события А, имеющее наибольшую вероятность при n испытаниях. Тогда Р_n(k₀) Р_n(k₀+1) и Р_n(k₀) Р_n(k₀-1). Значит

И .

Подставляя в эти соотношения вместо Р_n(k₀+1); Р_n(k₀); Р_n(k₀-1) значения, найденные по формуле Бернулли, а затем, проведя алгебраические преобразования, получим:

1)

2)

Отсюда следует, что

. (12.1)

Числа (n·p-q) и (n·p+p) отличаются на единицу, т.к. n·p-q=n·p-1+p=n·p+p-1. Поэтому, если (n·p-q) – дробное число, то и (n·p+p) – тоже дробное, тогда неравенство (12.1) определяет одно целое число k₀. Если число (n·p-q) – целое, то и (n·p+p) – тоже целое, тогда числа k₀ и k₀+1 будут иметь равную и наибольшую вероятность. Используя предыдущую задачу, найдем наиболее вероятное число взошедших семян.

5·0,8-0,2 k₀ 5·0,8+0,8.

3,8 k₀ 4,8.

k₀=4 Р₅(4)=0,4096.

Значит, наибольшее число семян, которые произрастут, равно 4, что было видно по вычислениям.

Локальная теорема Лапласа

Пример 12.3.Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, приобретают иммунитет к этому заболеванию. Какова вероятность того, что среди 100000 граждан, получивших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

По формуле Бернулли при n=100000; k=5800; p=0,06; q=0,94 находим

P₁₀₀₀₀₀(5800)=C (0,06)⁵⁸⁰⁰(0,94)⁹⁴²⁰⁰.

Получение ответа по формуле Бернулли при достаточно больших значениях n неудобно из-за громоздких вычислений. В этом случае применяют приближенную формулу Лапласа, которую для частного случая p= приближенно доказал Муавр в 1730 г., а затем обобщил Лаплас для p (0;1).

Лаплас Пьер Симон (1749–1827), выдающийся французский астроном, математик, физик, член Парижской академии наук.

Теорема 12.2 (Лаплас). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p, а непоявления события А равна q=1-p, то вероятность того, что событие А в серии из n испытаний появится ровно k раз, приближенно вычисляется по формуле

,

где , ;

(x) – это функция Лапласа, которая затабулирована.

Функция Лапласа, ее свойства и график.1) Область определения: .

2) Функция четная и график ее симметричен относительно оси Oy.

, то есть

3) Исследуем функцию на экстремум.

Находим .

Определяем критические точки, т.е. возможные точки экстремума, для чего решаем уравнение

.

Исследуем знак производной на интервале: (- ;0) и (0;+ ).

при x (- ;+ ).

При x (- ;0) >0Þ на этом интервале монотонно возрастает, при x (0;+ ) <0Þ на этом интервале монотонно убывает.

Значит,

При x и Þ

.

Значит, ось Ox является горизонтальной асимптотой графика функции , т.е. кривая приближается к оси Ox, но никогда ее не пересекает.

График этой функции имеет вид

(рис. 12.1).

Рис. 12.1

Функцию Лапласа иначе называют функцией вероятностей. Значения функции при считают равными нулю.

А теперь решим задачу из примера 12.1, т.е. вычислим

Р₁₀₀₀₀₀(5800) .

;

(-2,66)= (2,66)=0,0116.

Ответ: вероятность того, что из 100000 тыс. чел. 5800 чел. не приобретут иммунитет равна 0,00002 – это практически невозможное событие.

Замечание. Расчеты, выполненные по этой формуле, дают тем точнее результат, чем больше значение n . На точность результата оказывает влияние и значение произведения p·q, т.е. произведение вероятностей появления и непоявления события в каждом испытании. Погрешность результата тем больше, чем больше будет значение p·q отличаться от 0,25; а при значениях p или q, близких к нулю, эта формула дает значительные отклонения от точных значений Р_n(k), получаемых по формуле Бернулли.

Пример 12.4. Вероятность вступления в законную силу вердикта народного суда по гражданскому делу равна 0,9. В течение месяца судья принял решение по 50 гражданским искам. Какова вероятность того, что 30 из них вступят в законную силу без кассационного рассмотрения? Найти наивероятнейшее число вердиктов, вступивших в силу?

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.

Находим .

По таблице берем значение функции Лапласа: (-7,08)= (7,08)=0,0001, т.к. для всех значений x 4 , т.е. вероятность очень мала.

Находим k₀:

50·0,9-0,1 k₀ 50·0,9+0,9;

45-0,1 k₀ 45+0,9;

44,9 k₀ 45,9.

k₀=45 – наибольшее число вердиктов, вступивших в силу.

Найдем Р₅₀(45) , т.к. .

Если найдем т.к.

.

Видно, что Р₅₀(45)>Р₅₀(48).

Значит, наибольшее число решений, вступивших в силу, будет 45, а наибольшая вероятность Р₅₀(45) 0,19. Вероятности для k>45 и k<45 очень малы.

Пример 12.5. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 9 лампочек. Каждая лампочка в течение года перегорает с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в течение года в квартире придется заменить 5 лампочек? Наиболее вероятное число лампочек, которые придется заменить в течение года?

1) n=9; p=0,2; q=0,8; k=5 – применим формулу Бернулли.

2) Р₉(5)=С ·(0,2)⁵·(0,8)⁴= ·0,00032·0,4096=126·0,000131 .

Итак, вероятность того, что в течение года придется заменить 5 лампочек равна 1,7%.

3) 9·029-0,8 k₀ 9·0,2+0,2 Þ 1 k₀ 2.

Так как числа целые, то k₀=1 и k₀+1=2 имеют равную наибольшую вероятность быть замененными в течение года.

Проверим:

Р₉(1)=С ·(0,2)¹·(0,8)⁸=9·0,2·0,1678 0,302.

Р₉(2)=С ·(0,2)²·(0,8)⁷=36·0,04·0,2097 0,302.

Пример 12.6. Вероятность встретить на улице своего учителя – 0,002. Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встретите не более трех своих учителей?

Событие А – встретите среди 1200 человек не более трех своих учителей.

Событие А₀ – не встретите ни одного учителя.

Событие А₁ – встретите одного учителя.

Событие А₂ – встретите двух учителей.

Событие А₃ – встретите трех учителей.

А=А₀UА₁UА₂UА₃, причем А₀; А₁; А₂; А₃ – несовместные испытания.

Р(А)=Р(А₀)+ Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃).

Р(А)=0,075+0,1719+0,2505+0,2389=0,7388.

Значит, гарантия того, что вы встретите не более трех своих учителей, составляет приблизительно 74%.