Понятие определенного интеграла, его геометрический

и экономический смысл

Пусть на отрезке [a, b] определена некоторая функция y = f(x) (рис. 13.1). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками x₁ , x₂ ,…, x_n–1 . Для унификации обозначений положим a = x₀ ; b = x_n .

Отрезок [x_k–1 , x_k] назовем k-тым частичным отрезком. Длина k-того частичного отрезка равна

x_k = x_k – x_k–1 .

Число d равное наибольшей длине k-того частичного отрезка называется диаметром или мелкостью разбиения

.

Выберем на каждом частичном отрезке [x_k–1 , x_k] произвольную точку _k , найдем f( _k) и составим сумму

.

Функция называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Ясно, что таких интегральных сумм можно составить бесконечное множество.

Если существует предел интегральных сумм при (при этом ), то он называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b, а функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Эту формулу можно записать в виде:

.

Числа a и b называются соответственно нижними верхним пределами интегрирования, а функция f(x), как и в случае неопределенного интеграла, называется подынтегральной функцией.

Отметим, что в отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой множество функций, определенный интеграл — это вполне определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.Как видно из рис. 7.1, интегральная сумма

численно равна площади заштрихованной ступенчатой фигуры.

При переходе к пределу при интегральная сумма по определению будет равна интегралу , а ступенчатая линия, ограничивающая сверху заштрихованные прямоугольники, совпадет с графиком функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Рис. 7.1. Разбиение площади под кривой функции y = f(x)

Следовательно, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он по абсолютной величине численно равен площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной графиком функции y = f(x), осью x и прямыми x = a и x = b (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Символ абсолютной величины здесь используется потому, что площадь фигуры является величиной положительной, а определенный интеграл может быть отрицательным числом, если, например, f(x) < 0 на отрезке [a, b] или если при положительной f(x) верхний предел интегрирования меньше нижнего.

Экономический смысл определенного интеграла состоит в том, что если подынтегральная функция является предельной величиной (т. е. производной) какого-либо экономического показателя, то определенный интеграл представляет собой соответствующую этому показателю суммарную величину.

Например, пусть известна производительность труда как функция времени f(t). Из курса экономики известно, что производительность труда представляет собой предельный объем произведенной продукции (т. е. производную объема произведенной продукции по времени). Тогда объем V продукции, произведенной от момента времени t₁ до момента t₂, равен определенному интегралу

.