Геометрический смысл определенного интеграла.

Содержание.

Лекция 1.Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле…………………………………………………………………………… Лекция 2.Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие……………………………………………... Лекция 3.Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений……………………………… Лекция 4.Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях…………. Лекция 5.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, его свойства. Теорема существования определенного интеграла………………………………………........................................................ Лекция 6.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле…………………………………………………………………………… Лекция 7.Интегрирование четных и нечетных функций. Несобственные интегралы…………………………………………………………………………... Лекция 8. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел… Лекция 9.Вычисление длины кривой, площади поверхности тела вращения..                              

Введение. В первом семестре мы по известной функции находили ее производную. Теперь рассмотрим обратное действие, т.е. по известной производной найти саму функцию. Решение этой обратной задачи имеет важное значение в анализе и его приложениях. В частности, полученные результаты мы будем применять при вычислении определенных интегралов и решении дифуравнений.

Лекция 1.

Тема: Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.

1.1. Первообразная

Определение. Первообразной для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru в интервале Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru называется функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , производная которой равна Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Пример. Найти первообразную для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , так как Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Легко заметить, что любая функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru является первообразной для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru – const.

Таким образом, если функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru имеет одну первообразную Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru имеет бесконечно много первообразных Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru т.к. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Теорема: Если функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru в интервале имеет первообразную Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то любая другая первообразная отличается от данной на константу.

Доказательство: Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru – две первообразные для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru в интервале Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Рассмотрим функцию Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru дифференцируема в интервале Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru как разность двух дифференцируемых функций. Следовательно, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru непрерывна в интервале Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Рассмотрим произвольный отрезок Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru принадлежащий Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru непрерывна на отрезке Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , дифференцируема в интервале Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Следовательно, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru на отрезке Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой выполняется равенство Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru некоторая точка интервала Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Имеем Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .Поэтому Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Отсюда следует, что Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . ▼

В дальнейшем будет доказано, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства.

Определение: Неопределенным интегралом для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru называют совокупность всех ее первообразных Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Неопределенный интеграл обозначается Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru какая-либо одна из первообразных для Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru называется подынтегральной функцией, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Доказательство. Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru одна из первообразных функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , тогда Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Таким образом, действие интегрирования проверяется дифференцированием.

2. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Свойство 2 вытекает из свойства 1.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

4. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Таблица интегралов.

Из определения интеграла и формул дифференцирования функций следуют равенства:

1) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 2) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 3) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 4) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 5) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 6) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru   7) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 8) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 9) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 10) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru 11) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru  

Все формулы проверяются дифференцированием.

Так из равенства:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

следует справедливость второй формулы.

Проверим теперь формулу 3 при Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Имеем: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

В последнем равенстве применили правило дифференцирования сложной функции.

1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Замена переменной в неопределенном интеграле есть действие обратное дифференцированию сложной функции.

Справедливо равенство:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru (1)

В самом деле, пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru первообразная для Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru тогда

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Использование формулы (1) слева направо называется подведением под знак дифференциала.

Приведем некоторые примеры:

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В данном примере подводим под знак дифференциала 2х

Имеем: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru отсюда Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Пример Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.к. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В дальнейшем мы покажем использование формулы (1) замены переменной справа налево.

Лекция 2.

Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

2.1. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения.

Имеем: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Проинтегрируем обе части равенства:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru отсюда получаем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В интеграле Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru еще раз применим интегрирование по частям:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В данном примере интегрирование по частям применено дважды.

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

2.2. Интегрирование заменой переменной.

Рассмотрим формулу (1) в следующем виде:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru обратная функция для функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Обратим внимание на то, что при замене переменной Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru последняя функция должна иметь обратную.

В данном интеграле сделана замена Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.

Пример

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие.

Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru многочлены соответственно степеней m и n.

Определение: Рациональная дробь Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , в противном случае рациональная дробь – неправильная.

Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби.

В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.

К простейшим рациональным дробям относятся дроби:

1) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

2) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

3) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

4) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пусть дана правильная рациональная дробь Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Коэффициент при Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru у многочлена Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru можно считать равным 1. Этого можно достичь, деля числитель и знаменатель на одно и то же число.

Многочлен Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru имеет ровно n корней, учитывая их кратность, т.е.:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru действительные корни, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru комплексные корни, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru кратность соответствующих корней.

Так как Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru – многочлен с действительными коэффициентами, то каждому комплексному корню соответствует сопряженный комплексный корень той же кратности.

Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru комплексный корень Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru кратности Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , тогда Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru тоже корень Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru кратности Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Поэтому в многочлене Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru будет присутствовать произведение:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Следовательно, многочлен Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru всегда можно представить в следующем виде:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты.

(теорема без доказательства)

Неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: равенство (2) приводят к общему знаменателю, которым является Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Затем приравниваем числители в левой и правой части полученного равенства. Далее приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части последнего равенства. В результате получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию простейших рациональных дробей.

Лекция 3.

Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений.

3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Выделим в числителе производную знаменателя

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В подынтегральной функции в знаменателе выделим полный квадрат

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Сначала в числителе выделим производную квадратного трехчлена

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В последнем интеграле сделаем замену переменной Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Нам остается вычислить интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В результате получим

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Итак, мы получили рекуррентную (возвратную) формулу

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Применяя рекуррентную формулу вычисления интеграла Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru можно свести к вычислению интеграла Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . В данном интеграле Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Для вычисления Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru снова применим рекуррентную формулу, где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Учитывая полученное, будем иметь:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Во-первых, отметим, что подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т.к. степень числителя больше степени знаменателя, поэтому поделим числитель на знаменатель и представим данную неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru
Итак, имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Теперь остается вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru от правильной рациональной дроби. Для этого подынтегральную правильную рациональную дробь представили в виде суммы простейших рациональных дробей

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Учитывая полученный результат, будем иметь:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

3.2. Интегрирование тригонометрических выражений.

Мы будем рассматривать

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru есть рациональная функция от Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Т.е. если положить Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , a Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru есть отношение двух многочленов от Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Например:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Далее функция

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru не является рациональной функцией от Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.к. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru входит под знак корня.

3.2.1. Универсальная подстановка.

Интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru с помощью подстановки Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru всегда сводится к интегралу от рациональной функции:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В результате получаем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , пользуясь указанной заменой переменной Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

3.2.2. Теперь предположим, что Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . В этом случае имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В этом случае была сделана замена Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , и вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

3.2.3. Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . В этом случае замена Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru сводит вычисление Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru к вычислению интеграла от рациональной функции.

3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. подынтегральная функция четная относительно Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru одновременно. В этом случае замена Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru позволяет свести вычисление интеграла Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru к вычислению интеграла от рациональной функции. В самом деле,

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.к.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то функция Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru является четной относительно Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , поэтому Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В результате замены переменной получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Подынтегральная функция является четной относительно Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru одновременно. Поэтому можно применить подстановку: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В последнем интеграле подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которую представим в виде суммы простейших рациональных дробей

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Лекция 4.

Тема: Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях.

4.1. Вычисление интегралов вида: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru символ рациональности функции.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru натуральные числа.

Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru наименьшее общее кратное.

В данном интеграле сделаем замену

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , тогда Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru целое положительное число для любого Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Далее имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Сделав подстановку, получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Таким образом, вычисление данного интеграла с помощью указанной замены сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

В данном интеграле сделаем замену: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В результате замены получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Неправильную рациональную дробь Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru представим в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, для этого поделим числитель на знаменатель:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Таким образом, имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

4.2. Вычисление интегралов вида:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Выражение Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru означает следующее: если Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru есть рациональная функция от Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Интегрирование данных выражений можно осуществить различными способами.

4.2.1. Интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru после выделения полного квадрата под знаком квадратного корня и замены Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru сводится к интегралу одного из следующего типов:

а) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

б) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

в) Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

В свою очередь, последние три интеграла соответствующей подстановкой

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

сводятся к интегралу вида:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене x Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru +2x+3, получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Делая подстановку Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Делая подстановку Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

4.2.2. Подстановка Эйлера.

Интеграл Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , может быть сведен к вычислению интеграла от рациональной функции с помощью подстановки Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , которая носит имя Эйлера, впервые применившего эту подстановку.

Пусть для определенности:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Возведем обе части последнего равенства в квадрат, в результате получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ; Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ;

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Используя данную подстановку, будем иметь:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ,

т.к. рациональная функция от рациональной функции есть рациональная функция и произведение двух рациональных функций есть рациональная функция.

Пример. Вычислить: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

При вычислении данного интеграла используем подстановку Эйлера, т.к. коэффициент при x Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru больше 0.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ; Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ; Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ;

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ; Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru ;

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Осуществляя подстановку, получим:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Пример. Вычислить: Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Применим снова подстановку Эйлера:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru (см. пример 25)

Далее имеем:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

4.3. Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Лекция 5.

Тема: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, его свойства. Теорема существования определенного интеграла.

5.1 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

Во-первых, мы должны дать определение криволинейной трапеции.

Во-вторых, должны дать определение площади криволинейной трапеции.

В-третьих, должны указать способ вычисления площади криволинейной трапеции.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямой l, двумя прямыми, перпендикулярными прямой l и непрерывной кривой, которая расположена по одну сторону от прямой l и любой прямой, перпендикулярной l, пересекается не более чем в одной точке.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Если прямую l взять за ось OX; OY Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru OX, тогда определение криволинейной трапеции можно дать следующим образом.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a; x=b и графиком непрерывной функции Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru

Далее, определение площади криволинейной трапеции и способ вычисления этой площади дадим одновременно.

При решении этих задач мы будем пользоваться следующими известными фактами:

1) Площадь фигуры есть неотрицательное число.

2) Если фигуру разбить на конечное число частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

3) Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Криволинейную трапецию будем рассматривать в декартовой системе координат.

Отрезок Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru произвольным способом разобьем на n частей точками:

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Это разбиение обозначим через (T), Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru . Через Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru обозначим наибольшую из длин Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Далее, в каждом из отрезков разбиения произвольным способом выберем по точке Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Прямые Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , разобьют нашу криволинейную трапецию на n элементарных криволинейных трапеций. K- тую элементарную трапецию заменим прямоугольником с основанием Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru и высотой Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Тогда вся криволинейная трапеция заменится ступенчатой фигурой, состоящей из n прямоугольников, и площадь криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры.

Следовательно, Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , где Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru - площадь K- того прямоугольника.

Символ Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru (греческая буква «сигма») обозначает сумму, т.е.

Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Площадью криволинейной трапеции называют предел сумм Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru при Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Тем самым мы одновременно дали определение площади криволинейной трапеции и указали способ ее вычисления.

Задача 2. Найти массу неоднородного стержня Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru с плотностью Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

При решении этой задачи мы будем пользоваться следующими известными фактами:

1) Если плотность отрезка Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru постоянна и равна Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , то масса отрезка Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

2) Если отрезок Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru разбить на конечное число частей, то масса отрезка равна сумме масс его частей.

Теперь мы дадим определение массы неоднородного стержня Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru неоднородной плотности и укажем способ ее вычисления.

Отрезок Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru произвольным способом разобьем на n частей точками Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Это разбиение обозначим (T), Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

В каждом из отрезков разбиения произвольным способом выберем по точке Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Масса К-того отрезка разбиения приближенно равна Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , а масса всего стержня Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru приближенно равна Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

За массу стержня Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru принимают предел сумм Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru при Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru , т.е. Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

Таким образом, дано определение массы неоднородного стержня и указан способ ее вычисления.

Заметим, что многие другие задачи сводятся к вычислению пределов аналогичных сумм.

Отметим, если в задаче 1 и задаче 2 отвлечься от геометрического и механического смысла задач, то эти задачи решаются одним и тем же методом, т.е. решение задач сводится к нахождению пределов Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru .

5.2. Определение определенного интеграла.

Пусть Геометрический смысл определенного интеграла. - student2.ru – произ

Наши рекомендации