РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10

Тема: «Многопролетные статически определимые (шарнирные балки)»

Цель работы:

Выполнение аналитического расчета многопролетных статически определимых (шарнирных балок).

Студент должен знать:

1. порядок составления схем взаимодействия;
2. методику расчета шарнирных балок.

Студент должен уметь:

1. строить этажные схемы;
2. строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое различие между многопролетными статически определимыми и статически неопределимыми системами?

1. Каковы условия статической определимости и геометрической неизменяемости?
2. Назовите основные типы шарнирных балок.
3. Как получить статически определимую балку из статически неопределимой?
4. Каков порядок расчета многопролетной статически определимой балки?
5. Что такое поэтажная система расчета многопролетной статически определимой балки?
6. Какова последовательность монтажа для многопролетной статически определимой балки?
7. В чем достоинство равномоментных шарнирных балок? Что такое наивыгоднейшее расположение шарниров в балке?

Методические указания

Для перекрытия нескольких пролетов могут использоваться простые балки (однопролетные с шарнирными опорами), неразрезные (статически неопределимые балки, имеющие непрерывное строение по всей своей длине с числом пролетов от двух и более) и многопролетные шарнирные балки.

Многопролетная шарнирная балка - геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из расположенных в определенной последовательности однопролетных консольных или только одних консольных балок, соединенных между собой шарнирами.

Преимущества шарнирных балок:

· Нагрузки, действующие на консоли балок, являющихся составными частями шарнирной балки, уменьшают величины максимальных изгибающих моментов в ее пролетах, поэтому шарнирные балки требуют меньшего расхода материала по сравнению с простыми балками;

· Неравномерное изменение температуры по высотешарнирных балок не вызывает в них дополнительных напряжений.

Недостатки шарнирных балок:

· Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж балок, обуславливает перелом упругой линии в местах установки шарниров, что при подвижной нагрузке вызывает толчки и удары;

· Обрушение одного пролета шарнирной балки может вызвать обрушение других;

· Устройство промежуточных шарниров требует дополнительных затрат.

Для того, чтобы рассчитать многопролетную неразрезную балку, необходимо её разрезать на отдельные части в тех местах, где изгибающие моменты равны нулю, и соединить разрезные части шарнирами.

Тогда многопролетная неразрезная статически неопределимая балка превратится в статически определимую. Каждый дополнительный промежуточный шарнир позволяет записать дополнительное управление статики - условие равенства нулю изгибающего момента в этом шарнире.

Для того, чтобы шарнирная многопролетная балка была статически определимой, число промежуточных поставленных шарниров (Ш) должно равняться степени статической неопределимости (Л).

Ш=Л=Н-3,

где: Н - количество неизвестных опорных реакций;

3 - количество уравнений равновесия статики.

При составлении схемы многопролетной шарнирной балки, имеющей геометрическую неизменяемость, статическую определимость, следует пользоваться правилами:

1. В каждом пролете можно устанавливать не более двух шарниров;

2. Пролеты с двумя шарнирами чередуются с пролетами без шарниров;

3. По одному шарниру может быть установлено в каждом пролёте, кроме одного.

Схема взаимодействия (поэтажная схема) – схема, обеспечивающая наглядность, характер взаимодействия и порядок расчета элементов, составляющих многопролетную шарнирную балку. Схема взаимодействия может состоять из подвесной балки, передаточной и основной.

Подвесной называют балку, шарнирно опирающуюся на концы консолей двух смежных с ней балок.

Передаточной называют такую балку, давление от которой передается частично через опору на основание, а частично на консоль смежной балки, поддерживающей передаточную.

Основной называют балку, которая передает давления от всех действующих на нее нагрузок через опоры на основание (землю).

Равномоментные балки - балки, у которых наибольшие изгибающие моменты в пролетах равны по абсолютному значению моментам на опорах.

Изгибающий момент М_х считается положительным, если в рассматриваемом сечении ось балки изгибается выпуклостью вниз (нижние волокна растянуты) и отрицательным если ось балки изгибается выпуклостью вверх.

Ординаты эпюры М откладываются со стороны растянутых волокон («+» под основной линией)

Поперечная сила в рассматриваемом сечении считается положительной, если её направление совпадает с вращением оставшейся части по ходу часовой стрелке. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх от основной линии.

Пример.Определить внутренние силовые факторы, возникающие в шарнирной балке, построить эпюры Q и M, определить опасное сечение балки, подобрать размеры поперечного сечения, выполненного из стандартного прокатного профиля – двутавра, выполнить проверочный расчет. Исходные данные для своего варианта взять изтаблицы 5.
Решение

1. Вычертить схему с указанием размеров и нагрузки.

Дано:

F₁ = 40 Кн;

F₂ = 20 Кн;

F₃ = 30 Кн;

g=20 .

рис.26

1.Построить схему взаимодействия элементов

Построение схемы взаимодействия начинают с замены поставленных шарниров на фиктивные опоры и деления шарнирной балки на основные и второстепенные (передаточные или подвесные) элементы, что позволяет выяснить, как происходит передача силовых воздействий от одной балки к другой.

Данная балка состоит из двух основных балок (III и IV), подвесной балки I и передаточной II.

Римскими цифрами намечен порядок их расчета с учетом взаимодействия.

2. Аналитический расчет шарнирной балки (рис.26) начинают с расчета подвесных балок, так как на них действуют только непосредственно приложенные к ним нагрузки.

2.1. Расчет балки I (рис.27):

рис. 27

2.1.1 Определение опорных реакций.

В данном случае опорные реакции равны между собой:

R_C = R_D = = = 40 кН;

2.1.3 Построение эпюры поперечных сил.

Вычисляем для этого поперечные: силы в характерных сечениях:

Q_С = R_С = 40 кН; Q_D = Qc – q × 4 = 40 - 20´4 = - 4О кН;

2.1.4 Построение эпюры изгибающих моментов.

Для простой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра ограничивается квадратной параболой с максимальной ординатой по средине:

M_max=

2.2 Расчет балки П (рис.28)

рис. 28

2.2.1 Определение опорных реакций:

∑М_H = 0 - R_L×6 + F₃×4 + F₂×2 = 0, откуда:

кН.

∑M _L = R_H´6 - F₂´4 - F₃´2 = 0, откуда:

кН.

Проверка: ∑R_Y = R_H - F₂ - F₃ + R_L = 23,3 – 0 – 30 + 26,7 = 50 – 50 = 0, следовательно опорные реакции определены правильно.

2.2.2 Построение эпюр поперечных сил.

Характерные точки (точки приложения сосредоточенных сил) исследуются слева и справа. Поперечную силу необходимо определить в сечении чуть левее точки приложения силы (Q_лев) и в сечении чуть правее этой точки (Q_пр):

= = 23,3 кН; = = 3,3 кН

= = 23,3 кН; = - F₃= 3,3 – 30 = -26,7 кН;

= – F₂ = 23,3 - 20 = 3,3 Кн; = = - 26,7 кН.

2.2.3 Построение эпюр изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_Н = 0;

М_I = R_H´2 = 23,3´2 = 46,6 кНм;

М_K = R_L´2 = 26,7´2 = 53,4 кНм;

М_L = 0;

2.3. Расчёт балки ІІІ (с учётом давления на неё силы от балки І, в точке С равной и противоположно направленной опорной реакции Rс) (рис.29),

рис. 29

2.3.1 Определение опорных реакций:

ΣМ_А = 0 - R_В´5+R_С´7+q´7´3,5 = 0, откуда:

кН.

ΣМ_В = 0 - R_А´5 – q´7´1,5 + R_С´2 = 0, откуда:

кН.

Проверка: ΣF_у = R_А – q´7 + R_В – R_С = 26 - 20´7+154 – 40 = 0;

2.3.2 Построение эпюр поперечных сил.

Q_A= R_А = 26 кН.

= Q_A – q×5 = 26 – 20×5 = -74 кН;

= + R_B = - 74 + 154 = 80 кН;

Q_С = - q´2 = 80 - 20´2 = R_С = 40 кН.

Для определения величины максимального изгибающего момента на этом участке необходимо найти расстояние X₀ до сечения, в котором поперечная сила равна нулю.

Приравняем нулю поперечную силу в этом сечении:

Q_X0 = R_А - q´X0 = 0, находим X0 = 1,3 м.

Х₀ = 1,3 м.

2.3.3 Построение эпюр изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных точках сечения:

М_(А) = 0;

М_(В) = R_А´5 - q´5´ = 26´5 - 20´5´ = 130 – 250 = -120 кНм;

М_(С) = 0.

Изгибающий момент в произвольном сечение участка АВ на расстоянии X0 от точки А:

М_(Х0) = R_А´1,3´ = 26´1,3´0,65 = 16,9 кНм;

2.4 Расчёт балки IV с учётом давления на неё силы от балки І, в точке D равной и противоположно направленной опорной реакции R_D (рис.29), и давления силы в точке Н от балки ІІ, равной и противоположно направленной опорной реакции R_Н

рис. 30

2.4.1.Определение опорных реакций:

ΣМ_Е = 0 - R_D´2 + F₁´2,5 – R_G´5 + R_Н´7 = 0 откуда:

кН.

ΣF_у = 0 - R_D + R_E - F₁ + R_G – Rн = 0, следовательно

R_Е = R_D + F₁ - R_G + R_Н = 40 + 40 – 36,6 + 23,3 = 66,7 кН.

R_Е = 66,7 кН.

Проверка: ΣМ_G= - RD´7 + R_E´5 - F₁´2,5 + R_H´2=-40 ´7 + 66,7´5 - 40´2,5 + + 23,3´2 = - 280 + 333,5 – 100 + 46,6 = 0.

2.4.2.Построение эпюры поперечных сил

Q_D = - R_D - 40 кН;

= Q_D = - 40 кН;

= + R_E = - 40 + 66,7 = 26,7 кН;

= = 26,7 кН;

= - F₁ = 26,7 - 40 = - 13,3 кН;

= = - 13,3 кН;

= + R_С – 13,3 + 36,6 = 23,3 кН;

Q_H = = 23,3 кН;

2.4.3 Построение эпюры изгибающих моментов.

Изгибающие моменты в характерных сечениях:

М_D = 0 кНм;

М_E = - R_D´2 = - 40´2 = - 80 кНм;

М_F = - R_D´4,5 +R_E´2,5 = - 40´4,5 + 66,7´2,5 = - 13,3 кНм;

М_G = - R _H´2 = - 23,3´2 = - 46,6 кНм;

М_H = 0 кНм.

2.5 Построение общей эпюры поперечных сил для всей шарнирной балки. Эпюры Q, полученные для отдельных балок, располагаем на одной оси, вычертив их в одном масштабе (см. рис. 1).

2.6. Построение общей эпюры изгибающих моментов для всей шарнирной балки. Эта эпюра (рис. 1) строится аналогично общей эпюре Q.

2.7. Определение М_мах = 120 кНм;

3. Определение момента сопротивления поперечного сечения W_x

W_x = 0,0005714 м³ = 571,4см³.

4. Подбор размеров поперечного сечения двутавра.

Используя таблицы сортамента, находим ближайшее большее или равное значение W_x, по нему определяем номер профиля

W_x = 597см³, № 33.

5. Проверочный расчет.

s = + = 201 ≤ 210 МПа

Задание для расчетно-графической работы №10. Для шарнирной балки построить поэтажную схему, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать поперечное сечение балки из двутавра. Исходные данные взять из табл. 5 и рисунка 31.

Таблица 5

№ Схемы	№ Варианта	F1, кН	F2, кН	F3, кН	q, кН/м
a
b
c
d
e
f

Схема	№ схемы
	a
	b
	c
	d
	e
	f

рис.31