Расчетно-графическая работа № 6

«Определение состояния технической системы с использованием статистических методов распознавания (метод Байеса)»

Теоретическая часть

Основное преимущество статистических методов распознавания состоит в возможности одновременного учета признаков различной физической природы, т.к. они характеризуются безразмерными величинами – вероятностями их проявления при различных состояниях технической системы.

Среди методов технической диагностики, метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря своей простоте и эффективности. Несмотря на имеющиеся недостатки данного метода: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов, его применение целесообразно, как одного из наиболее надежных и эффективных методов, при условии достаточного объема статистических данных.

Метод основан на простой формуле Байеса [1]. Если имеется диагноз Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru и простой признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru и признака Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru ) равна:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru (6.1)

Из равенства вытекает формула Байеса:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.2)

где Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - вероятность диагноза Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза):

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.3)

где Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - число объектов с состоянием Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru ;

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - общее число объектов.

Вероятность появления признака Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru у объектов с состоянием Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru :

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru (6.4)

Если среди Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru объектов, имеющих диагноз Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru у Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru проявился признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , то:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.5)

где Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - вероятность появления признака Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru во всех объектах независимо от их состояния. Пусть из общего числа Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru объектов признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru был обнаружен у Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru объектов, тогда:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.6)

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - вероятность диагноза Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru (апостериорная вероятность диагноза).

В случае, когда обследование состояний объекта проводится по комплексу признаков Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , включающему признаки Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , анализ состояния объекта проводится с использованием обобщенной формулы Байеса:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.7)

где Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru вероятность проявления комплекса признаков у объекта с состоянием Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru . Если признаки диагностически независимы, то:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru (6.8)

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru вероятность рассматриваемого Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru го состояния объекта данной совокупности состояний Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru . Если допустить, что объект находится только в одном состоянии совокупности состояний Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru , то:

Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru   (6.9)

где Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - число возможных состояний (диагнозов) системы.

ЗАДАНИЕ

Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяются два признака: Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - повышение температуры газа за турбиной более чем на 500С и Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Предполагается, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru ), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru ). При нормальном состоянии двигателя (состояние Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru ) признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru не наблюдается, а признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru наблюдается в 5 % случаев. На основании статистических данных известно, что 80 % двигателей вырабатывают свой ресурс в нормальном состоянии, 5 % двигателей имеют состояние Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru и 15 % - состояние Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru . Известно также, что признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru встречается при состоянии Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru в 20 %, а при состоянии Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - в 40 % случаев; признак Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru при состоянии Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru встречается в 30 %, а при состоянии Расчетно-графическая работа № 6 - student2.ru - в 50 % случаев (табл. 3.7).

Таблица 6.1

Вероятности признаков и априорные вероятности состояний

Di P(к1/Di) P(к2/Di) P(Di)
D1 0,2 0,3 0,05
D2 0,4 0,5 0,15
D3 0,0 0,05 0,8

Определить вероятности всех состояний при различных признаках, встречающихся при работе газотурбинного двигателя. Сделать вывод.

Задания для самоконтроля

1. Предмет изучения технической диагностики.

2. Техническое состояние и техническое диагностирование.

3. Виды технического диагностирования машин.

4. Классификация средств диагностирования.

5. Классификация первичных измерительных преобразователей.

6. Суть статистических методов распознавания.

7. Априорная и апостериорная вероятность диагноза.

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

2. Биргер И.Г. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978.

3. Введение в техническую диагностику /Г.Ф. Верзаков, Н.В. Кишт и др. М.: Энергия, 1968.

Наши рекомендации