Расчетно-графическая работа № 6
«Определение состояния технической системы с использованием статистических методов распознавания (метод Байеса)»
Теоретическая часть
Основное преимущество статистических методов распознавания состоит в возможности одновременного учета признаков различной физической природы, т.к. они характеризуются безразмерными величинами – вероятностями их проявления при различных состояниях технической системы.
Среди методов технической диагностики, метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря своей простоте и эффективности. Несмотря на имеющиеся недостатки данного метода: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов, его применение целесообразно, как одного из наиболее надежных и эффективных методов, при условии достаточного объема статистических данных.
Метод основан на простой формуле Байеса [1]. Если имеется диагноз и простой признак , встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния и признака ) равна:
(6.1) |
Из равенства вытекает формула Байеса:
(6.2) |
где - вероятность диагноза , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза):
(6.3) |
где - число объектов с состоянием ;
- общее число объектов.
Вероятность появления признака у объектов с состоянием :
(6.4) |
Если среди объектов, имеющих диагноз у проявился признак , то:
(6.5) |
где - вероятность появления признака во всех объектах независимо от их состояния. Пусть из общего числа объектов признак был обнаружен у объектов, тогда:
(6.6) |
- вероятность диагноза после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака (апостериорная вероятность диагноза).
В случае, когда обследование состояний объекта проводится по комплексу признаков , включающему признаки , анализ состояния объекта проводится с использованием обобщенной формулы Байеса:
(6.7) |
где вероятность проявления комплекса признаков у объекта с состоянием . Если признаки диагностически независимы, то:
(6.8) |
вероятность рассматриваемого го состояния объекта данной совокупности состояний . Если допустить, что объект находится только в одном состоянии совокупности состояний , то:
(6.9) |
где - число возможных состояний (диагнозов) системы.
ЗАДАНИЕ
Пусть при наблюдении за газотурбинным двигателем проверяются два признака: - повышение температуры газа за турбиной более чем на 500С и - увеличение времени выхода на максимальную частоту вращения более чем на 5 с. Предполагается, что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние ), либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние ). При нормальном состоянии двигателя (состояние ) признак не наблюдается, а признак наблюдается в 5 % случаев. На основании статистических данных известно, что 80 % двигателей вырабатывают свой ресурс в нормальном состоянии, 5 % двигателей имеют состояние и 15 % - состояние . Известно также, что признак встречается при состоянии в 20 %, а при состоянии - в 40 % случаев; признак при состоянии встречается в 30 %, а при состоянии - в 50 % случаев (табл. 3.7).
Таблица 6.1
Вероятности признаков и априорные вероятности состояний
Di | P(к1/Di) | P(к2/Di) | P(Di) |
D1 | 0,2 | 0,3 | 0,05 |
D2 | 0,4 | 0,5 | 0,15 |
D3 | 0,0 | 0,05 | 0,8 |
Определить вероятности всех состояний при различных признаках, встречающихся при работе газотурбинного двигателя. Сделать вывод.
Задания для самоконтроля
1. Предмет изучения технической диагностики.
2. Техническое состояние и техническое диагностирование.
3. Виды технического диагностирования машин.
4. Классификация средств диагностирования.
5. Классификация первичных измерительных преобразователей.
6. Суть статистических методов распознавания.
7. Априорная и апостериорная вероятность диагноза.
Литература
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.
2. Биргер И.Г. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978.
3. Введение в техническую диагностику /Г.Ф. Верзаков, Н.В. Кишт и др. М.: Энергия, 1968.