Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 6 страница

РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,0084/0,2144 ~ 0,039.

Ответ: 0,039.

№110.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение:

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что выиграны три партии из шести:

Так как > , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

№111.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Решение:

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша следовательно, вероятность проигрыша . Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

а) Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что одна партия из двух будет выиграна:

б) Найдем вероятность выиграть не менее двух партий из четырех:

Найдем вероятность выиграть не менее трех партий из пяти:

Таким образом, вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех

№112Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а)менее двух раз; б)не менее двух раз.

Решение:

При бросании монеты вероятность выпадения герба и решки, равновероятны, поэтому вероятность выпадения герба равна следовательно вероятность выпадения решки ; Так как при бросании вероятность постоянна, то применима формула Бернулли.

а) Найдем вероятность того, что герб выпадет менее двух раз:

б) Найдем вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз:

№113.а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трёх раз в четырёх независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырёх раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Решение:

а)Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли. Так как вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4, т.е. р = 0,4, то вероятность не появления события А в одном испытании равна

q = 1 – 0,4 = 0,6.

Найдём вероятность того, что событие А появится ровно 3 раза в четырёх независимых испытаниях и найдём вероятность того, что событие А появится ровно 4 раза в четырёх независимых испытаниях и просуммируем их:

б) Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли.

р = 0,8 q = 0,2

Найдём вероятности того, что событие А появится ровно 4 раза и 5 раз в пяти независимых испытаниях и просуммируем:

№114. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой- устройство отказывает, если работает менее трех элементов.

Решение:

По условию , следовательно вероятность стабильной работы каждого элемента . Так как безразлично какой из элементов откажет и вероятности отказа всех элементов равны, применима формула Бернулли.

а) Найдём вероятность того, что будут работать все 3 элемента :

б) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при одном дополнительном элементе на протяжении времени t. :

в) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при двух дополнительных элементах на протяжении времени t. :

№115.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков в) более двух мальчиков г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

Вероятность рождения мальчиков принять равной 0.51

Решение:

По условию p=0.51 следовательно вероятность q= 0.49 и применима формула Бернулли.

а) Найдём вероятность того, что в семье 2 мальчика:

б) Найдём вероятность того, что в семье не более двух мальчиков:

в) Найдём вероятность того, что в семье более двух мальчиков:

г) найдём вероятность того, что в семье не менее двух и не более трёх мальчиков:

№116......

№117 На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем x, а три — на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение:

т.к. p = xa - вероятность того, что точка будет находиться на расстоянии меньшем чем x, следовательно, q = 1 – p=1- xa= a-xa. По формуле Бернулли имеем: Pnk= Cnkpkqn-k. P52= C52xa2a-xa3.

№118 Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение:

Вероятность того, что точка попадет в нужный отрезок равна р=1/4.

q=3/4

Искомая вероятность равна

Р= С82 С62 С42 С22*(1/4)8

№119 Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение:

По условию, n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Т.к. n=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Найдем значение x: . По таблице найдем

Тогда искомая вероятность

Ответ: .

№120 Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

Решение:

По условию, n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Так как n=2400 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Найдем значение x: .

Так как четная функция, то = .

По таблице найдем

Тогда искомая вероятность

Ответ: 0,0041.

№121 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Решение.

Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

(k)= φ(x).

Вычислим x:

X= = =-1,25.

Функция φ(x) четная, поэтому φ(-1,25)= φ(1,25)=0,1826.

Искомая вероятность

.

№122 Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Решение:

P(k)= 1/√(npq)*

Вычислим х:

х_р—пр_ 1400—24000,6 _ 40

Vnpq ~ У 2400 -0,6 0,4 "~ 24 ~

Функция ф(^)=—^=е~лг*/'2—четная, поэтому ф(—1,67)=ф( 1,67).

По таблице приложения 1 найдем ф( 1,67) = 0,0989.

Искомая вероятность

Я24оо A400) = 1/24-0,0989=0,0041.

№123 Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

Решение.

n=2N, k=N, p=0,5, q=0,5. Для нахождения вероятности выпадения «герба» ровно N раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа :

(N)=φ(x)* 1/ ;

φ(x)= 1/ ;

x=(k-pn)/ ;

x=0; φ(x)≈0,3989; (N)≈0.5641/

№124 Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2m раз больше, чем надпись.

Решение: Т.к. исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов и возможных исходов два («герб» или надпись), то вероятность выпадения «герба» в каждом испытании равна . Всего проведено n=2N испытаний, а «герб» выпал на 2m раза больше, чем надпись, значит обозначим количество выпадений «герба» за t, получим уравнение: . Очевидно, что количество исходов, в которых выпал «герб», равно .

По локальной теореме Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна:

Подставим значения:

№125 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна . Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75раз и не более 90раз; б) не менее 75раз; в) не более 74раз.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: , где – функция Лапласа,

a) По условию, . Вычислим :

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. , получим:

.

По таблице приложения найдем:

.

Искомая вероятность:

б) Требование, чтобы событие появилось не менее раз, означает, что число появления событий может быть равно . Таким образом в рассматриваемом случае следует принять . Тогда:

По таблице приложения найдем:

.

Искомая вероятность:

в) События – « появилось не менее раз» и « появилось не более раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность:

Лукинова Наталья

№126 Вероятность появления события в каждом из 2100 испытаний равна 0,7. Найти вероятность того что событие появится

А) Не менее 1470 и не более 1500 раз

Б) Не менее 1470 раз

В) Не более 1469 раз

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где Ф(х)- функция Лапласа,

,

А) По условию, n= 2100; p=0,7; q=0,3; k1= 1470; k2= 1500;

Тогда =0; =1,43

По таблице значений функции Лапласа:

Ответ: 0,4236

Б) По условию, n=2100; p=0,7; q=0,3; k1=1470; k2=2100;

Тогда =0; =30

По таблице значений функции Лапласа:

;

Т.к. =0,5 и Ф(5)=0,499999, то Ф(30)=0,5

Ответ: 0,5

В) По условию, n=2100; p=0,7; q=0,3; k₁=0; k2=1469;

Условие В) обратно условию Б), поэтому P₂₁₀₀(1470,2100)+P₂₁₀₀(0,1469)=1

Т.к. P₂₁₀₀(1470,2100)=0,5 (см. пункт Б)), то P₂₁₀₀(0,1469)=1-P₂₁₀₀(1470,2100)=1-0,5=0,5

Ответ: 0,5

№127 Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где и

По условию, n=21; p=0,7; q=0,3; k1=11; k2=21;

= =Ф( =Ф(3)=0,4986

= = ( )=Ф(-1,8)=0,4608

Так как функция Лапласа нечетная то получим следующее равенство:

= =0,4986+0,4608=0,9594

Ответ: 0,959

№128 Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где Ф(х) – функция Лапласа,

,

По условию задачи n=2N; p=0,5; q=0,5, = ; = .

Вычислим и :

Итак, т.к. функция Ф(x) нечетна, получаем:

Ответ: 0,6826

№129 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение:

По условию: p=0,8; q=0,2; k₁=75; k₂=n; P_n=(75,n)=0,9

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где и , Ф(x) – функция Лапласа

Подставляя данные задачи в формулу, получим

Или

Очевидно, число испытаний n>75, поэтому 4,33. Поскольку функция Лапласа — возрастающая и Ф(4)≈0,5, то можно положить Ф 0,5.

Следовательно,

Таким образом,

(*)

По таблице приложения 2 найдем Ф(1,28)≈0,4. Отсюда и из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим

Решив это уравнение, как квадратное относительно получим . Следовательно, искомое число испытаний n=100.

Ответ: 100

№130 Вероятность появления положительного результат в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат.

Решение:

По условию n=n; p=0,9; q=0,1; k₁=150; k₂=n; P_n(k₁,k₂)=0,98

P_n(k₁,k₂)=P_n(150,n)

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

где и , Ф(x) - функция Лапласа

Подставляя данные задачи в формулу, получим

Очевидно, число испытаний n>150, поэтому 4,08. Поскольку функция Лапласа — возрастающая и Ф(4)≈0,5, то можно положить Ф 0,5.

Следовательно,

n=177

Ответ: 177

№131Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04

Решение:

По условию, n=625; p=0,8; q=0,2; .

Требуется найти вероятность

Воспользуемся формулой

Имеем

По таблице приложения 2 найдем Ф(2,5)=0,4938. Следовательно, 2Ф(2,5)=0,9876.

Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.

Ответ: 0,9876

№132 Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится

от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

По условию: n = 900; p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02;

Требуется найти вероятность: .

Воспользуемся формулой:

Имеем:

Ответ: 0,7698

№133 Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01

Решение:

По условию, n=10000; p=0,75; q=0,25; ε=0,01

Требуется найти вероятность

Воспользуемся формулой

Получаем