Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница

Тогда искомая вероятность равна Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№30На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса r<a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры, и не зависит от ее расположения.

Решение:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Событие А – монета не пересечёт ни одной из сторон квадрата можно представить в виде двух событий: В – монета не пересечёт вертикальных линий и С – монета не пересечёт горизонтальных линий. Тогда вероятность наступления события А можно представить в виде умножения вероятностей событий В и С.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Аналогично предыдущей задаче вычисляем вероятности событий В и С. Получаем что

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru ; Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Тогда искомая вероятность равна Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№31На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка, и не зависит от его расположения.

Решение:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Данная задача является частным случаем задачи №29. Воспользуемся выведенной в ходе решения той задачи формулой, подставив в неё значения a=3; r=1:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ответ: вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых равна 2/3.

№32На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Решение:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Т.к. вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры, и не зависит от её расположения, то мы можем вычислить вероятность того, что точка наудачу брошенная в большой круг попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями по формуле:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Где g-площадь кольца, а G-площадь большого круга. Вычислим площади. Пусть R – радиус большой окружности, а r – радиус малой окружности.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Тогда искомая вероятность равна

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№33Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

Решение:

А) А

Рассмотрим треугольник АВС. Он является равнобедренным, В

так как АС=АВ=R. По формуле

площади любого треугольника, найдем его площадь: С

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru По свойствам квадрата угол ВАС=90. Следовательно, мы получим:

Но так как квадрат составляют 4 таких треугольника, то площадь квадрата

Sкв.=4S=2*R*R. Площадь круга Sкр=п*R*R

Из условия задачи, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга, следует:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Б) По теореме синусов

Так как треугольник В

АВС равносторонний, следовательно, все его

углы равны 60 градусам. Из данной формулы

найдем сторону треугольника, которая a=b=c.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Так как sin60= , то получим, что b= Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru *R.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Существует формула площади треугольника, вписанного в окружность

Отсюда, мы получим, что площадь треугольника равна Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Из условия задачи, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга, следует:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ответ: А)2/п Б) Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№34Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

Решение:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Площадь круга Sкр=п*R*R. Так как диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет, то белый занимает половину круга, а остальную половину круга занимает черный цвет.

Следовательно,

А так как вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры, то

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ответ: ½

№35 На отрезке OA длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(у), причем Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . (Координата точки С для удобства дальнейшего изложения обозначена через у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ (рис. 1,а). Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Решение:

Координаты точек В и С должны удовлетворять неравенствам Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей прямоугольному треугольнику OKM (рис 1,б). Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С.

Длина отрезка ВС должна быть меньше длины отрезка ОВ, т.е. должно иметь место неравенство Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , или Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Последнее неравенство выполняется для координат тех точек фигуры G (прямоугольного треугольника OKM), которые лежат ниже прямой Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru (прямая ON). Как видно из рис. 1,б, все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику ONM. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию (длина отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ).

Искомая вероятность

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№36На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Решение:

Координаты точек В и С должны удовлетворять неравенствам

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru
Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OLRM. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С.

Возможны два случая:

1)B<C

Длина отрезка ВС должна быть меньше длины отрезка ОВ, т.е. должно иметь место неравенство Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , или Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Последнее неравенство выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат ниже прямой Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru (прямая ON). Как видно из рисунка, все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику ONR.

2)B>=C

Аналогичное утверждение. Должны одновременно выполняться 2 условия: y<=x, y>x/2.

Как видно из рисунка, все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику ORK.

Таким образом, фигуру ONRK можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию.

Искомая вероятность

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Бондарчук Родион

№37На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причём Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Решение:

Координаты точек В и С должны удовлетворять неравенствам Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей прямоугольному треугольнику OL1 K. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С.

Длина отрезка BC должна оказаться меньше L/2, т.е имеет место неравенство:

y<x+L/2.

Последнее неравенство выполняется для точек фигуры OMM1K( см. рисунок). Таким образом, эту фигуру можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию.

Искомая вероятность

№38На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Решение:

Координаты точек В и С должны удовлетворять неравенствам

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru
Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OLRM. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С.

Возможны 2 случая:

1)B<C Длина отрезка ВС должна быть меньше L/2, т.е имеет место неравенство

y<x+L/2.

2)B>=C.Имеет место неравенство .

Эти условия выполняются для фигуры OFSRNP( см. рисунок).Таким образом, эту фигуру можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию.

Искомая вероятность

№39Задача Бюффона(французский естествоиспытатель XVIII в.). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l<a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Решение.

Введём следующие обозначения: х-расстояние от середины иглы до ближайшей параллели; Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru -угол, составленный иглой с этой параллелью (рис. 2,а).

Положение иглы полностью определяется заданием определённых значений х и Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , причём х принимает значения от 0 до а; возможные значения Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru изменяются от 0 до Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru (рис. 2,б). Таким образом, этот прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, площадь фигуры G равна Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Найдём теперь фигуру g, каждая точка которой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка этой фигуры может служить серединой иглы, котрая пересекает ближайшую к ней параллель. Как видно из рис.2,а, игла пересечёт ближайшую к ней параллель при условии Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , т.е. если середина иглы попадёт в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис. 2,б.

Таким образом, заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдём площадь этой фигуры:

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Искомая вероятность того, что игла пересечёт прямую

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№ 40 На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(y). Найти вероятность того, что из получившихся отрезков можно составить треугольник.

Решение:

Для того, чтобы из трёх отрезков можно было построить треугольник, каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других. Сумма всех трёх отрезков равна L, поэтому каждый из отрезков должен быть меньше L/2.

Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. Координаты любых двух точек В и С должны удовлетворять двойным неравенствам: Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки М(x,y), принадлежащей квадрату OLDL (рис. 3,а). Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения координат точек В и С.

1. пусть точка С расположена правее точки В (рис. 3,б). Как указано выше, длины отрезков ОВ, ВС, СА должны быть меньше L/2, т.е. должны иметь место неравенства Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , или, что то же,

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . (*)

2. Пусть точка С расположена левее точки В (рис. 3,в). В этом случае должны иметь место неравенства Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , или, что то же,

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . (**)

Как видно из рис. 3.а, неравенства (*) выполняются для координат точек треугольника EFH, а неравенства (**) – для точек треугольника KHM. Таким образом, заштрихованные треугольники можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас событию (из трёх отрезков можно построить треугольник).

Искомая вероятность

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru №41 В сигнализатор поступают сигналы от двух уст­ройств, причем поступление каждого из сигналов равно-возможно в любой момент промежутка времени длитель­ностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализа­тор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < Т). Най­ти вероятность того, что сиг­нализатор срабатывает за вре­мя Т, если каждое из уст­ройств пошлет по одному сиг-палу.

Решение:

Обозначим момен­ты поступления сигналов первого
и второго устройств соответственно через х и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0<х<T, 0<y<T.

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТ AT . Таким обра­зом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов по­ступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т. е. если у—х < t при у > х и x — y<t x>y, или, что то же,

у < x+t при у > х, (*)

у>х—t при у < х, (**)

Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у= х и ниже прямой y = x+t; нера­венство (**) имеет место для точек, расположенных ниже прямой y=x и выше прямой у = х—t.

Как видно из рис все точки, координаты которых удовлет­воряют неравенствам (*) и (**) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рас­сматривать как фигуру g. координаты точек которой являются бла­гоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени хну.

Искомая вероятность

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

№42Задача о встрече. Два студента условились встре­титься в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение:

Обозначим момен­ты встречи 2х студентов соответственно через х и у. Они могут встретиться в течение часа(так как 13-12=1). Пусть Т=1. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 0<х<1, 0<y<1.

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТ AT . Таким обра­зом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов встречи студентов. Так как пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит, то t=1/4.

Они встретятся, если разность между моментами меньше t, т. е. если у—х < t при у > х и x — y<t, x>y, или, что то же,

у < x+t при у > х, (*)

у>х—t при у < х, (**)

Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у= х и ниже прямой y = x+t; нера­венство (**) имеет место для точек, расположенных ниже прямой y=x и выше прямой у = х—t.

Как видно из рис все точки, координаты которых удовлет­воряют неравенствам (*) и (**) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рас­сматривать как фигуру g. координаты точек которой являются бла­гоприятствующими моментами времени х и у, когда студенты помуг встретиться.

Y

Y=x

t=1/4

Искомая вероятность

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ответ: 7/16

№43Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в пространственную фигуру пропорциональна объему фигуры и не зависит от ее расположения.

Решение.

Рассмотрим пространственную систему координат.

A = {из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник}
Обозначим через x, y и z длины трех выбранных отрезков.
Пространство элементарных исходов имеет вид:
K = {(x,y,z): 0<=x<=L; 0<=y<=L; 0<=z<=L} - куб со стороной длины L

Пространство благоприятных исходов имеет вид:
T = {(x,y,z): 0<=x<=L; 0<=y<=L; 0<=z<=L; x+y>z; x+z>y;
y+z>x} - куб со стороной длины L без трех тетраэдров
Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru
Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ответ: 1/2

№44 Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное у/x не больше двух.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru
Решение:

Числа удовлетворяют неравенствам . Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OLRM. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек х и у. Согласно условию задачи, имеют место следующие неравенства:

(см. рисунок). Заштрихованную область можно принять за фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас событию.

Нетрудно видеть, что

Искомая вероятность

№45 Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма х+у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru
Решение.

Числа х и у должны удовлетворять неравенствам: . Введём в рассмотрение прямоугольную систему координат xOy. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OLRM. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек х и у.

Согласно условию задачи, имеют место следующие неравенства: (си. Рисунок). Заштрихованную область можно принять за фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас событию.

Нетрудно видеть, что

Искомая вероятность

№46 На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Решение:

Обозначим искомое событие А, а противоположное ему В(ни один из взятых учебников не окажется в переплете). Так как сумма вероятностей двух противоположных событий равно 1, то

Р(А)=1-Р(В)

Р(А)=1- С103 /С153=1-24/91=67/91

№ 47 В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена (событие А).

Решение

Требование – хотя бы одна из взятых деталей окрашена – будет осуществлено, если

не произойдет событие при котором ни одна из деталей не будет окрашена(B).

P(A)=1-P(B).

Найдем вероятность событий B:

P(B)= = 1/6

Получим:

P(A) = 1 – 1/6 = 5/6

Ответ: 5/6

№48 Доказать, что если событие А влечёт за собой событие В, то Р(В) ≥ Р(А)

Доказательство

Событие В можно представить в виде суммы несовместных событий Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru и Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru :

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru = Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru + Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Так как Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru , то Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru

Ч.т.д.

№49 Вероятности появления каждого из двух независимых событий А1 и А2 соответственно равны р1 и p2. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение.

Введем обозначения событий: В1 – появилось только одно событие А1, В2 – появилось только событие А2.

Появление события В1 равносильно появлению события Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. В1 = Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru . Появление события В2 равносильно появлению события Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru (появилось второе событие и не появилось первое), т.е. В2 = Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно шестерок, если общее число бросаний равно . 2 страница - student2.ru .

Наши рекомендации