Бросают игральных костей. Найти метематическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях

Решение:

Обозначим через сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через – число выпавших очков на грани -й кости. Тогда, очевидно,

Следовательно,

(*)

Очевидно, все величины имеют одинаковое распределение, а, следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые математические ожидания, т.е.

.

В силу (*) получим

(**)

Таким образом, достаточно вычислить математическое ожидание величины ,т.е. математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости. Для этого напишем закон распределения :

Найдем

(***)

Подставив (***) в (**), окончательно получим

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия,— если проверке подлежит 50 партий.

Решение:

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно произведению числа испытаний на вероятность появления события.

В данном случае можно использовать формулу Бернулли

В данной задаче, по условию, , , ,

Находим вероятность

Так как проверяется 50 партий, то найденную вероятность нужно умножить на 50

Получаем

№201 Доказать:

1) , если ;

2) , если .

Решение:

1)

Что и требовалось доказать.

2) Что и требовалось доказать.

№202 События , ,…, несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соОтветственно равны , ,…, . Если в итоге испытания появляется событие (i=1, 2, … ,n), то дискретная случайная величина принимает возможное значение , равное вероятности появления события . Доказать, что математическое ожидание случайной величины имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.

Решение:

Возможные значения величины по условию равны вероятности событий ; вероятность возможного значения , очевидно, также равна . Таким образом, имеет следующее распределение:

Найдем математическое ожидание:

(*)

Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому:

.

Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т. е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать.