Гидравлический удар. Формулы Н.Е.Жуковского
В 1897-1898 годах Н.Е.Жуковский был привлечён к работам по проектированию нового московского водопровода. Ему было поручено проведение опытов по выяснению причин и предотвращению аварий на московском водопроводе, которые случались в ту пору по непонятным причинам. Случаи внезапного разрушения водопровода в неожиданных местах и по невыясненным причинам стали международной проблемой, аварии случались в разных странах и на старых, и на новых трубопроводных системах.
В эти годы Н.Е.Жуковский был профессором МВТУ и МГУ, членом-корреспондентом Петербургской АН. Он приступил к изучению проблемы разносторонне: анализировал случившиеся аварии, ставил многочисленные опыты, размышлял о физической природе явления. В 1899 г. он опубликовал капитальный труд “О гидравлическом ударе в водопроводных трубах”, в котором причиной аварий был назван гидравлический удар, т. е. явление резкого повышения давления в трубах при быстрой остановке движения воды, например, при резком закрытии шарового крана или остановке циркуляционного насоса.
Теория гидравлического удара принесла Н.Е.Жуковскому мировую известность. Его работа была вскоре опубликована в Германии, Франции и Англии, поскольку представляла огромный практический и научный интерес. Теория Н.Е.Жуковского не только объяснила причины гидравлического удара, но и позволила разработать многочисленные способы его предотвращения. До настоящего времени формулы Н.Е.Жуковского являются основой решения задач, связанных с явлениями гидравлического удара.
Гидравлический удар как физическое явление.
Физику процесса возникновения гидравлического удара можно раскрыть, лишь учитывая упругие свойства жидкости и материала трубы.
Жидкость плохо сжимаема, но всё же сжимаема. Коэффициентом объёмного сжатия жидкости , м2/Н, называют относительное изменение удельного объёма жидкости при изменении давления в изотермических условиях, взятое с обратным знаком:
(1)
Если коэффициент объёмного сжатия слабо зависит от давления, то можно приближённо считать:
(2)
Величину, обратную коэффициенту объёмного сжатия, называют объёмным модулем упругости жидкости , Н/м2(Па):
(3)
Численные значения коэффициента объёмного сжатия некоторых жидкостей:
| Жидкость | Коэффициент объемного сжатия, 1/Па | Жидкость | Коэффициент объемного сжатия, 1/Па |
| Бензин | 92∙10-11 | Пентан | 314 ∙10-11 |
| Вода | 47,5∙10-11 | Ртуть | 3,71∙10-11 |
| Вода морская | 43,1∙10-11 | Сероуглерод | 85,9∙10-11 |
| Глицерин | 24,8∙10-11 | Спирт Этиловый | 76,0∙10-11 |
| Керосин | 68,7∙10-11 | Эфир | 110∙10-11 |
В области упругих деформаций напряжение в стенке трубопровода прямо пропорционально произведению модуля упругости материала стенки трубы (модуля Юнга) и относительной деформации трубы :
(4)
Численные значения модуля упругости некоторых материалов:
| Материал | Е, МПа |
| Пластик | 3 000 |
| Алюминий | 70 000 |
| Чугун | 108 000 |
| Медь | 100 000 |
| Сталь | 200 000 |
Рассмотрим типичный случай возникновения гидравлического удара – колебания давления в трубопроводе при внезапном закрытии задвижки.
По трубопроводу с поперечным сечением течёт жидкость с плотностью , давлением и скоростью . Трубопровод представляет собой цилиндрическую стальную тонкостенную трубу с диаметром и толщиной стенки . На трубопроводе установлена задвижка, которая может мгновенно перекрывать трубопровод полностью или частично.
В момент времени мгновенно закроем задвижку, полностью перекрыв трубопровод.
Скорость частиц жидкости, перед которыми внезапно возникла стена, мгновенно (со скоростью срабатывания задвижки) упала от до нуля. Конечно, в тот же миг, в этом месте, непосредственно прилегающем к поверхности задвижки, выросло давление. И вот тут самое интересное. Жизнь показала, что давление поднимается до столь высоких значений, что либо разрушается трубопровод и задвижка, либо труба выдерживает это давление, но расширяется, диаметр её увеличивается ! Одновременно и жидкость изменяет свой объём – она сжимается !
Появившийся дополнительный объём трубы заполняется жидкостью, и это сохраняет движение жидкости в остальной части трубопровода. Длина расширенного напряжённого участка трубы увеличивается, зона напряжённого состояния перемещается навстречу потоку жидкости со скоростью . До тех пор, пока зона возмущения (ударная волна) не прошла весь трубопровод с этой скоростью до входа жидкости в трубопровод, скорость жидкости на входе в трубопровод будет сохраняться прежней, равной .
В то мгновение, когда ударная волна достигает питающего бака, заканчивается первый такт четырёхтактного цикла колебаний жидкости в трубе. В это мгновение вся труба находится в состоянии упругого растяжения, скорость жидкости по всей её длине равна нулю, а давление в ней достигло максимального и постоянного по всей длине трубы значения, равного .
Второй такт немедленно следует за окончанием первого такта. Жидкость, находящаяся в трубопроводе под давлением и сжимаемая упругими стенками трубы, начинает выливаться из трубопровода обратно в питающий бак. При идеально упругих свойствах материала трубы и жидкости, при отсутствии гидравлических потерь и при отсутствии релаксационных явлений, этот процесс протекал бы, как и в первом такте: зона возмущения двигалась бы от бака по направлению к задвижке со скоростью , скорость истечения жидкости из трубы в бак равнялась бы . В конце второго такта, когда зона возмущения достигла задвижки, мы увидим удивительную картину. Эта картина появляется всего лишь на мгновение: стенка трубы находится в нормальном состоянии, давление по всей трубе равно первоначальному , а скорость жидкости постоянна по всей длине трубопровода и равна по величине первоначальному значению , НО (!) направлена от задвижки к питающему баку ! Этим заканчивается второй такт.
В третьем такте процесс начинается у задвижки. Здесь в течение первых двух тактов скорость жидкости была равна нулю, а давление очень высоким . В момент окончания второго такта скорость жидкости изменилась с нуля до , но жидкость должна течь в другую сторону - влево, а справа – глухая стена задвижки. Единственно возможным вариантом развития событий является резкое снижение давления до , сжатие трубы, уменьшение её диаметра. Высвободившийся объём жидкости обеспечивает процесс истечения жидкости из трубопровода в питающий бак. Третий такт заканчивается в то мгновение, когда фронт сжатия трубы достигнет питающего бака. В конце третьего такта скорость жидкости по всей длине трубы равна нулю, давление равно минимальному, стенки трубы находятся в состоянии упругого сжатия. Такое состояние не может длиться больше мгновения.
Начинается четвёртый такт в месте присоединения трубопровода к баку в тот самый момент, когда заканчивается третий такт. Труба восстанавливает своё свободное ненапряжённое состояние, диаметр её становится номинальным, а скорость жидкости восстанавливается до . Процесс распространения зоны восстановления протекает до тех пор, пока зона восстановления не достигнет закрытой задвижки. Распределение параметров движения жидкости в момент окончания четвёртого такта в точности совпадает с картиной, которую мы наблюдали непосредственно перед закрытием задвижки. И, следовательно, все четыре такта последуют друг за другом снова и снова, и колебания будут наблюдаться бесконечно. Однако, в жизни ничего вечного не бывает, колебания быстро затухают. Но всё же экспериментально удалось зарегистрировать на осциллографе в одном из опытов до 48 тактов - 12 полных циклов !
Н.Е.Жуковский в своей работе показал, как вычислить ударное давление и скорость распространения колебаний . Если задвижка очень быстро, до прихода отражённой волны полностью перекрывает трубопровод, то гидравлический удар называют полным, а если задвижка частично перекрывает трубопровод, то гидравлический удар называют неполным. При неполном ударе изменение скорости обозначим через . При полном ударе .
Формула Н.Е.Жуковского для определения максимального давления при гидравлическом ударе.
Рассмотрим два сечения трубопровода 1 и 2 в период первого такта в моменты времени и после закрытия задвижки. Моменты времени выберем такими, чтобы расстояние между сечениями 1 и 2 было бы равно .
Применим к объёму жидкости, заключённому между сечениями 1 и 2, теорему об изменении количества движения: «изменение во времени количества движения части жидкости равно сумме внешних сил, действующих на рассматриваемую область»
В момент времени скорость частиц жидкости между сечениями 1 и 2 равна , плотность , площадь поперечного сечения , расстояние между сечениями 1 и 2 равно .
Количество движения жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени равно:
(5)
В момент времени скорость частиц жидкости между сечениями 1 и 2 равна , плотность , площадь поперечного сечения , расстояние между сечениями 1 и 2 равно .
Количество движения жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени равно:
(6)
В сечении 2 действует давление , а в сечении 1 давление ; следовательно, сумма внешних сил, действующих на объём жидкости между сечениями 1 и 2, равна:
(7)
Применяя теорему об изменении количества движения, получим:
(8)
или
(9)
Раскроем скобки и отбросим слагаемые более высокого порядка, имеющие сомножителем бесконечно малые величины:
(10)
Окончательно получаем формулу Н.Е.Жуковского для вычисления ударного давления при полном и неполном гидравлическом ударе:
при полном гидравлическом ударе ( )
(11)
при неполном гидравлическом ударе ( )
(12)
Формула Н.Е.Жуковского для определения скорости распространения ударной волны при гидравлическом ударе.
Вторую формулу, позволяющую вычислить скорость ударной волны при гидравлическом ударе, Н.Е.Жуковский получил, применяя закон сохранения массы для объёма жидкости, заключённого между сечениями 1 и 2 : разность массы жидкости, прошедшей через сечения 1 и 2 за время , равна изменению массы жидкости в объёме, ограниченном сечениями 1 и 2.
(13)
В уравнении (13) приняты следующие обозначения.
Масса жидкости , вошедшая в рассматриваемый участок трубопровода через сечение 2 за промежуток времени :
(14)
Масса жидкости , вышедшая из рассматриваемого участка трубопровода через сечение 1 за промежуток времени :
(15)
Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени :
(16)
Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени :
(17)
Раскроем разность с использованием (14) и (15) , произведём сокращения одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми малого порядка, имеющими в качестве сомножителей или :
(18)
Раскроем разность с использованием (14-17), раскроем скобки , произведём сокращения одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми более высокого порядка, имеющими в качестве сомножителей произведение :
(19)
Подставив выражения (18) и (19) в уравнение (13), получим :
(20)
Или
(21)
Н.Е.Жуковский использовал полученные им соотношения (12) и (21) для вывода формулы скорости распространения ударной волны через геометрические и физические характеристики трубы. Из (12) и (21) следует:
(22)
Или
(23)
Выразим относительное изменение плотности через параметры процесса . Используем (2) и (3):
(24)
Учитывая, что , вычислим выражение , полагая
(25)
Полагая в формуле (24) , получим выражение для относительного изменения плотности:
(26)
Выразим относительное изменение площади поперечного сечения трубопровода при гидравлическом ударе через параметры процесса.
Используем (4). Если площадь поперечного сечения трубы равна , то изменение площади сечения при изменении радиуса трубы на будет равно . Таким образом,
, (27)
Напряжение в стенке трубы, возникающее во время гидравлического удара, можно вычислить двумя способами. Во-первых, по закону Гука, см. уравнение (4), а также по формуле:
(28)