Матрица перехода от одного базиса к другому
Вопросы к экзамену по Линейной алгебре за первый семестр
Определение комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства.
Произведение матриц и его свойства.
Понятие определителей 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие определителя п-го порядка.
Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы, формула нахождения обратной матрицы.
7. Системы линейных уравнений. Основные определения: решение системы, совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Равносильные системы. Однородные и неоднородные системы. Матрица системы линейных уравнений, расширенная матрица системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений.
Теорема Крамера .
Матричный метод решения системы линейных уравнений (теорема о матричном методе с доказательством).
Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Элеиентарные преобразования матриц. Понятие системы линейных уравнений, приведенной к единичному базису, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение системы, базисные и свободные неизвестные.
Модифицированные жордановы исключения, применение их к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений. Правила МЖИ.
12. Понятие линейного пространства. Понятие п-мерного вектора. Линейные операции над п-мерными векторами. Пространство Rn.
13. Понятие линейной комбинации п-мерных векторов. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Пример линейно независимой системы векторов в пространстве Rn. Основные свойства линейно зависимых систем векторов.
Понятие ранга матрицы.
Понятие размерности и базиса линейного пространства. Разложение вектора по базису. Теорема о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.
16. Основные теоремы о размерности и базисе линейных пространств, критерий базисности векторов в пространстве Rn. Стандартный базис в пространстве Rn. Теорема о стандартном базисе.
Матрица перехода от одного базиса к другому.
18. Скалярное произведение в пространстве Rn и его свойства. Норма п-мерного вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис в пространстве Rn.