Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому

Пусть дана система векторов {а1, а2, …, аk } линейного пространства L и известны координаты этих векторов в некотором базисе Б:

а1= (а11, а21, …, ап1),

а 2= (а12, а22, …, ап2),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

аk= (а1k, а2k, …, апk).

Рассмотрим матрицу этой системы векторов, т.е. матрицу, столбцы которой есть координаты векторов системы в заданном базисе:

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Оказывается, с помощью ранга матрицы системы векторов можно сделать вывод о линейной зависимости или независимости этих векторов. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3

Для того чтобы k векторов п-мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен k.

Как уже отмечалось, координаты вектора зависят от выбранного базиса. Рассмотрим два базиса Б1:{а1, а2, …, ап} и Б2:{ Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru } линейного пространства L. Так как векторы Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru есть векторы одного и того же линейного пространства L, то векторы базиса Б2 можно разложить по базису Б1. Пусть эти разложения имеют вид

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru откуда Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Определение 3

Матрица векторов базиса Б2 в базисе Б1 называется матрицей перехода от базиса Б1 к базису Б2 и обозначается Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru или просто Т.

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . (2.2)

Матрица Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru перехода от одного базиса к другому есть невырожденная квадратная матрица.

Рассмотрим произвольный вектор хлинейного пространств L. Пусть известны координаты этого вектора в базисе Б1 и в базисе Б2:

х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Обозначим соответствующие координатные столбцы Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . Тогда имеют место формулы преобразования координат:

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru × Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ,

или в матричной форме

Х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ×Х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , Х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ×Х Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Лекции 17 Евклидово пространство

Содержание лекции: Евклидово пространство. Ортонормированный базис. Понятие метрического пространства. Метрическое пространство Rn.

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а, b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и удовлетворяющее условиям

1. (а, b) = (b,а),

2. (а + с, b) = (а, b) + (с, b),

3. (aа, b) = a(а, b)

4. Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru > 0 " а ¹ 0 и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = 0 Û а = 0,

то это правило называется скалярным умножением, а число (а, b) называется скалярным произведением вектора а на вектор b.

Число Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru называют скалярным квадратом вектора а и обозначают Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , т. е. Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения: первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности, четвертое – положительной определенности, а условие Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru Û Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V2 и V3 являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

· В линейном пространстве Rп(x) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru можно ввести по формуле

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

1) Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

2) Рассмотрим Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . Пусть Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , тогда

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

3) Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

4) Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , если многочлен Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru Û когда Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , что означает Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru определяет скалярное умножение векторов пространства Rп(x), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве Rn скалярное умножение вектора Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru на вектор Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru может быть определено по формуле

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве Ln произвольный базис {а1, а2, …, ап}. Пусть в этом базисе

а = a1а1+ a2 а2+ …+ aпап и b = b1а1 + b2а2 + …+ bпап.

Положим

(а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ aпbп. (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ aпbп = b1a1+ b2a2+ …+bпaп= (b, а),

2) Если Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ,то

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Тогда

(а + с, b) = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

= Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru (а, b) + (с, b).

3. (lа, b) = (la1)b1+ (la2)b2+ …+ (laп)bп = la1b1 + la2b2 + …+ laпbп =

= l(a1b1) + l(a2b2) + …+ l(aпbп) = l (а, b).

4. Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru " а ¹ 0 и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru тогда и только тогда, когда все ai = 0, т.е. а = 0.

Следовательно, равенство (а, b) = a1b1 + a2b2 + …+ aпbп определяет в Ln скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а, b) = a1b1+ a2b2+ …+ aпbп для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b. Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным.

Определение 3

Нормойвектораа евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают ||а||, или [а], или | а |. Итак, то определению,

||а|| Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. ||а|| = 0 Û а =0.

2. ||aа||= |a|.||а|| "a ÎR.

3. |(а, b)| £ ||а||.||b|| (неравенство Коши - Буняковского).

4. ||а+b|| £ ||а|| + ||b|| (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V2 и V3 с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора `а есть его длина

||`а || = |`а |.

В евклидовом пространстве Rn со скалярным умножением Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru норма вектора Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru равна

|| a || = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным(или единичным), если его норма равна единице: || a|| = 1.

Если а¹ 0, то векторы Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора асоответствующего ему единичного вектора Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru (или Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ) называется нормированием вектора а.

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , откуда Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ,

поэтому отношение Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j <p), для которого cosj = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , называется углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = arccos Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = 0.

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0.а, то (0, b) = (0.а, b) = 0.(а, b) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а1, а2, …, ат евклидова пространства называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(аi, аj) = 0 "i ¹ j, i, j =1,2,…,m.

Система векторов а1, а2, …, ат евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(аi, аj) = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , i, j = 1,2, …, m.

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru – ортогональная система ненулевых векторов, то система Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п-мерном евклидовом пространстве ( Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ) существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис {а1, а2, …, аn}, по нему построим ортогональный базис {g1, g2, …, gn}, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . Тогда система векторов {е1, е2,…, еn} образует ортонормированный базис.

Итак, пусть Б:{а1, а2, …, аn} – произвольный базис рассматриваемого пространства.

1. Положим

g1 = а1, g2 = а2 + Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1

и подберем коэффициент Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru так, чтобы вектор g2 был ортогонален вектору g1, т.е. (g1, g2) = 0. Поскольку

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ,

то из равенства Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru находим Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = – Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Тогда вектор g2 = а2Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1 ортогонален вектору g1.

Далее положим

g3 = а3 + Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1 + Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2 ,

и подберем Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru так, чтобы вектор g3 был ортогонален и g2, и g3, т.е. (g1, g3) = 0 и (g2, g3) = 0. Находим

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru ,

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru

Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Тогда из равенств Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru находим соответственно Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru и Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Таким образом, вектор g3 = а3 –` Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2 ортогонален векторам g1 и g2.

Аналогично построим вектор

g4 = а4 –` Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g3.

Нетрудно проверить, что (g1, g4) = 0, (g2, g4) = 0, (g3, g4) = 0.

Действую далее подобным образом, получим

gп = апМатрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2 – … – Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru gп–1,

причем этот вектор, в силу взаимной ортогональности векторов g1, g2, …, gп–1, будет ортогонален каждому из этих векторов.

Таким образом, система векторов { g1, g2, …, gп}, где

g1 = а1,

gk = аkМатрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2 – … – Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru gk–1, k = 2, 3, …, n,

образует ортогональную систему векторов, которая, согласно теореме 5.2, линейно независима, и, следовательно, образует ортогональный базис п-мерного евклидова пространства.

2. Положим теперь Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru , …, Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru . В силу теорем 5.1 и 5.2, векторы е1, е2, …, еn попарно ортогональны и линейно независимы, а значит, образуют ортонормированный базис рассматриваемого пространства.

Таким образом, во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. ▲

Из доказательства этой теоремы следует алгоритм построения ортонормированного базиса (процесс ортогонализации):

1) Взять произвольный базис заданного евклидова пространства.

2) Найти векторы ортогонального базиса по формулам

g1 = а1,

gk = аkМатрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g1Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru g2 – … – Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru gk–1, k = 2, 3, …, n.

3) Нормировать полученную систему векторов {g1, g2, …, gп}, т.е. положить Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

4) Записать ортонормированный базис {е1, е2, …, еn}.

В дальнейшем ортонормированный базис будем обозначать

Б0:{е1, е2, …, еn}.

Отметим следующие свойства ортонормированного базиса.

1) В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений их соответствующих координат: (а, b) = a1b1 + a2b2 + …+ aп bп.

2) Если в некотором базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то этот базис – ортонормированный.

Таким образом, всякий базис евклидова пространства будет ортонормированным, если скалярное произведение определено как сумма произведений координат векторов в этом базисе.

3) В ортонормированном базисе норма вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

|| a || Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru = Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому - student2.ru .

Определение 8.

Множество М называется метрическим пространством, если существует правило, по которому любым двум его элементам х и у поставлено в соответствие некоторое действительное число r(х,у) называемое расстоянием между этими элементами, удовлетворяющее условиям:

1. r(х,у) = r(у,х);

2. r(х,у)³0 для любых х и у, причем r(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х = у;

3. r(х,у) £ r(х, z) + r(у, z) для любых трех элементов х, у, zÎМ.

Элементы метрического пространства называются точками.

Примером метрического пространства является пространство Rn, в нем расстояние между точками (векторами этого пространства) может быть определено по формуле r(х,у) = || ху ||.

Наши рекомендации