Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e₁, e₂, ..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁, e₂, ..., e_n .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно - каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n} к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_e оператора A в базисе e и матрицей A_e' этого оператора в базисе e' задается формулой

Здесь - матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А для любого А.

4. (–А) + А = О.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = ( А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А. 2. βА) А.3. А = А + βА. 4. (А + В) = А + В.

28ВОПРОС Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору х R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор Ах R.

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов хи у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А(х + у)=Ах + Ау, А(λх) = λ Ах. (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор хв самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Ех= х.

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае₁, Ае₂, Ае₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

Ае₁= а₁₁е₁ + а₂₁ е₂ +а₃₁ е₃,

Ае₂ = а₁₂е₁ + а₂₂ е₂ + а₃₂ е₃, (9.2)

Ае₃ = а₁₃е₁ + а₂₃ е₂ + а₃₃ е₃ .

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_3. Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

Для произвольного вектора х =х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса:Ах =х`<sub>1</sub>е<sub>1</sub> + х`₂е₂ + х`<sub>3</sub>е<sub>3</sub>, где координаты x`_i можно найти по формулам:

х`₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x`₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃, (9.3)

x`₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.