Погрешности элементарных функций

5.1. Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) соs(0,47);

б) Погрешности элементарных функций - student2.ru ;
в) Погрешности элементарных функций - student2.ru ;

г) у = 1n (68,214).

Решение.

а) находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента Погрешности элементарных функций - student2.ru . Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

Погрешности элементарных функций - student2.ru ;

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ:0,892.

б) находим значение величины у . Оно будет равно 0,0450492.

Абсолютная погрешность аргумента Погрешности элементарных функций - student2.ru . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.

Ответ:0,04.

в) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,6378875.

Абсолютная погрешность аргумента Погрешности элементарных функций - student2.ru . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

Погрешности элементарных функций - student2.ru ;

Это означает, что в числе 4,6378875 три цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ:4,6378.

г) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,2226498

Абсолютная погрешность аргумента Погрешности элементарных функций - student2.ru . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

5.2. Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютних погрешностей после каждой операции:

Погрешности элементарных функций - student2.ru , если а=12,34, b=14,3.

Решение.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.

Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения Погрешности элементарных функций - student2.ru

а b Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru ln(a) b+ln(a) A
12,34 14,3 3,513 3,78 7,30 2,5129 16,81 0,434
Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru
0,005 0,05 0,00071 0,0066 0,0073 0,0004 0,05041 0,0017

Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верными в строгом смысле, значит, Погрешности элементарных функций - student2.ru , Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Найдем Погрешности элементарных функций - student2.ru . Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. выше):

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Это число внесем в таблицу.

Найдем абсолютную погрешность Погрешности элементарных функций - student2.ru = 3,781534.

Она будет равна Погрешности элементарных функций - student2.ru

Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.

Аналогично, находим значения всех остальных действии и функции:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.

Ответ:А = 0,434 ±0,002.

6. Способ границ. Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов.

6.1. Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d=(3± 0,001) см и высотой h=(10±0,002) см весит р=(95,5±0,001) г. Определить удельный вес у алюминия и оценить предельную абсолютную погреш­ность найденного удельного веса.

Решение.

Способ.

Объем цилиндра равен: Погрешности элементарных функций - student2.ru ,

Отсюда Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Из полученной формулы вытекает, что в области р>0, d>0, h>0 функция Погрешности элементарных функций - student2.ru – возрастающая по аргументу р и убывающая по аргументам d и h.

Имеем:

2,999 <d<3,001;

9,998 < h < 10,002;

95,499<р< 95,501;

3,14159< Погрешности элементарных функций - student2.ru <3,1416.

Тогда для значения у получим:

Погрешности элементарных функций - student2.ru (нижняя граница)

Погрешности элементарных функций - student2.ru (верхняя граница)

Взяв среднее арифметическое, получим значение у, равное у = (1,351 ±0,002) г/см3.

Ответ:у = (1,351 ±0,002) г/см3.

Способ.

Используя средние значения аргументов, получим:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем:

Погрешности элементарных функций - student2.ru . Взяв полный дифференциал, получим:

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Далее находим:

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Таким образом, имеем:

у = (1,351 ± 0,001) г/см3,

что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ.

Ответ:у = (1,351 ±0,001) г/см3.

6.2. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисле­ния объема шара по выражению Погрешности элементарных функций - student2.ru , если d= 3,7±0,05 см, а Погрешности элементарных функций - student2.ru = 3,14.

Решение.

Рассматривая d и Погрешности элементарных функций - student2.ru как переменные величины, вычисляем частные производные:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Используя формулу для вычисления погрешности функции, зависящей от двух переменных:

Погрешности элементарных функций - student2.ru ,

Находим предельную абсолютную погрешность объема:

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Поэтому, Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Отсюда предельная относительная погрешность определения объема:

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Ответ: Погрешности элементарных функций - student2.ru , Погрешности элементарных функций - student2.ru .

6.3. Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула Погрешности элементарных функций - student2.ru , где l – длина стержня; а и b – измерения поперечного сечения стержня; s – стрела прогиба; р – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга E, если р=20 кг; Погрешности элементарных функций - student2.ru , а=3 мм; Погрешности элементарных функций - student2.ru ; b=44 мм; Погрешности элементарных функций - student2.ru ; l=50 см; Погрешности элементарных функций - student2.ru ; s=2,5 см; Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Решение.

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:

Погрешности элементарных функций - student2.ru . Следовательно,

Погрешности элементарных функций - student2.ru .

Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, т.е. примерно 8% от измеряемой величины.

Ответ: Погрешности элементарных функций - student2.ru .

6.4. Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и с с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.

Погрешности элементарных функций - student2.ru , а:=12,34; b:=14,3

Решение.

Алгоритм решения представлен на рисунках, приведенных ниже:

Погрешности элементарных функций - student2.ru

Погрешности элементарных функций - student2.ru Погрешности элементарных функций - student2.ru

Наши рекомендации