Формулы полной вероятности и Байеса

Задание 148.В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

Задание 149.Пользуясь формулами полной вероятности и Байеса, найти вероятности событий:

1. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30 % - с заболеванием Л, 20 % - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К – 0,7; для болезни Л – 0,8; для болезни М – 0,9. Больной, поступивший в больницу, выписался здоровым. Найти вероятность того, что он страдал заболеванием К.

2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадает к первому товароведу – 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом – 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

3. В районе имеется 4 частных предприятия. Вероятности того, что предприятия в полной мере платят налоги, соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. 1. Найти вероятность того, что наудачу проверенное предприятие платит налоги в полной мере. 2. Наудачу проверенное предприятие платило налоги в полной мере. Какова вероятность того, что было проверено первое предприятие?

4. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по этому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина – 0,1; для легковой машины эта вероятность – 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это будет грузовая машина.

5. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй группы – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй, третьей группы попадет в сборную университета, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

6. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в равных количествах. Доля продукции высшего сорта на первом заводе составляет 80 %, а на втором – 60 %. Найти вероятность того, что: 1) купленное изделие будет высшего сорта; 2) куплено изделие первого завода, если оно высшего сорта; 3) куплено изделие второго завода, если оно не высшего сорта.

7.Два завода поставляют телевизоры, причем первый в 2 раза больше второго. Не требуют гарантийного ремонта 90 % телевизоров первого завода и 70 % второго завода. В магазине куплен телевизор. 1. Найти вероятность того, что он не потребует гарантийного ремонта. 2. Купленный телевизор проработал без гарантийного ремонта. Какова вероятность того, что он сделан на первом заводе? 3. Телевизор был сдан в гарантийный ремонт. Какова вероятность того, что он сделан на втором заводе?

8.Три предприятия выпускают одинаковую продукцию в пропорции 2:2:1. Доля брака на первом предприятии –10 %, на втором – 5 %, на третьем – 15 %. Продукция поступает на склад. Со склада взято одно изделие. 1. Найти вероятность того, что оно годное. 2. Взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно сделано на первом предприятии? 3. Взятое изделие оказалось годным. Какова вероятность того, что оно сделано на втором предприятии?

9. Два предприятия поставляют овощные консервы в магазин в пропорции 2:1. Срок годности 1 год выдерживает 95 % продукции 1-го предприятия и 90 % продукции второго предприятия. 1. Найти вероятность того, что купленное изделие выдержит срок годности. 2. Купленное изделие срок годности выдержало. Какова вероятность того, что оно сделано на 1-м предприятии? 3. Изделие срок годности не выдержало. Какова вероятность того, что оно сделано на 2-м предприятии?

10. Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем поставки 1-го завода в 3 раза больше. Доля овощных консервов в продукции 1-го завода составляет 60 %, у 2-го – 50 %. Для контроля качества продукции наудачу взято одно изделие. 1. Какова вероятность того, что отобраны мясные консервы? 2. Какова вероятность, что взятые мясные консервы сделаны на 1-м заводе? 3. Какова вероятность, что взятые овощные консервы сделаны на 2-м заводе?

11. В цехе 3 группы станков автоматов производят одни и те же детали. Станки первой группы производят 90 % деталей 1-го сорта, второй – 85 % и третьей – 80 %. В первой группе 5 станков, во второй – 9 и в третьей – 2. 1. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет первого сорта. 2. Найти вероятность того, что взятая деталь сделана на первой группе станков, если она первого сорта.

12. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый дает 3 % брака, второй – 1%, третий – 2 %. С автоматов поступает соответственно 500, 200 и 300 деталей. 1. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали. 2. На сборку поступила годная деталь. Какова вероятность того, что она сделана на втором станке? 3. На сборку поступила бракованная деталь. Какова вероятность того, что она сделана на первом станке?

13.На склад магазина поступили электролампы трех партий. Известно, что в первой партии, состоящей из 400 шт., содержится 1 % нестандартных; во второй, состоящей из 500 шт. – 2 %; в третьей, состоящей из 100 шт. – 4 %.1. Найти вероятность того, что купленная электролампа будет стандартной. 2. Купленная лампа стандартная. Какова вероятность того, что она из первой партии? 3. Купленная лампа нестандартная. Какова вероятность того, что она из третьей партии?

14. Вероятность для изделия некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предполагается система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

15.В двух партиях одинаковых изделий по 12 и 15 штук находится по 2 бракованных детали. Все детали поступили в сборочный цех. 1. Найти вероятность того, что взятая деталь годная. 2. На сборку взята бракованная деталь. Какова вероятность того, что она из первой партии? 3. На сборку взята бракованная деталь. Какова вероятность того, что она из второй партии?

16.В продовольственный магазин поступает продукция с трех кондитерских фабрик в пропорции 1:2:1. Вероятность того, что продукция 1-й фабрики будет с истекшим сроком годности, равна 0,05; для 2-й фабрики – 0,08; для 3-й фабрики – 0,06. 1. Найти вероятность того, что купленный в магазине товар будет с истекшим сроком годности. 2. Купленный товар оказался свежим. Какова вероятность того, что он был выпущен 2-й фабрикой?

17.Магазин закупает минеральную воду у трех изготовителей в пропорции 2:1:3. Вероятность выпуска стандартной продукции первым изготовителем – 0,9; вторым – 0,95; третьим – 0,8. 1. Найти вероятность того, что купленная бутылка с минеральной водой удовлетворяет стандарту. 2. Найти вероятность того, что купленная бутылка была выпущена первым изготовителем, если она оказалась нестандартной.

18. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено с 1-го курса 4 студента, со 2-го – 5, с 3-го – 4, с 4-го – 6 студентов. Вероятности того, что студент 1-го, 2-го, 3-го, 4-го курсов попадет в сборную университета, соответственно равны 0,5; 0,9; 0,7; 0,8. 1. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент в итоге соревнований попадет в сборную. 2. Наудачу выбранный студент в сборную не попал. Какова вероятность того, что он студент 2-го курса?

19. На фабрике 30 % продукции производится машиной I, 25 % продукции – машиной II, а остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1 % всей производимой ею продукции, у машины II – 1,5 %, у машины III – 2 %. Найти вероятность того, что: 1) выбранная единица продукции будет без брака; 2) выбранная единица продукции произведена машиной I, если она оказалась бракованной.

20. На конвейер поступают детали с двух автоматов. Производительность первого автомата в 3 раза больше второго. Вероятность того, что деталь стандартная с первого автомата – 0,8; со второго – 0,9. 1. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет стандартной. 2. Найти вероятность того, что деталь была выпущена вторым автоматом, если она оказалась бракованной.

21. В городе 10 банков: 2 крупных, 3 средних, 5 мелких. Вероятность того, что банк нарушит правила работы с клиентами, соответственно равна 10 %, 20 %, 30 %. 1. Какова вероятность того, что случайно выбранный банк нарушит правила работы с клиентами? 2. Один из банков нарушил правила работы с клиентами. Какова вероятность того, что он является крупным банком?

22.Газета выходит на четырех страницах. Вероятность наличия опечаток на первой странице равна 0,08; на второй – 0,09; на третьей – 0,1; на четвертой – 0,15. 1. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице имеются опечатки? 2) Случайно выбранная страница содержит опечатки. Какова вероятность того, что это первая страница?

23. Три предприятия работают независимо друг от друга. Вероятности того, что по итогам года предприятия получат прибыль, соответственно равны 0,6; 0,3; 0,8. 1. Какова вероятность того, что наудачу взятое предприятие по итогам года получит прибыль? 2. Наудачу взятое предприятие получило прибыль. Какова вероятность того, что это третье предприятие?

24.Бухгалтерский отчет состоит из трех частей. Вероятность обнаружения ошибки в первой части – 0,02; во второй – 0,1; в третьей – 0,05. 1. Найти вероятность того, что в наудачу выбранной части отчета будет обнаружена ошибка. 2. В наудачу выбранной части не обнаружено ошибок. Найти вероятность того, что была проверена третья часть.

25. В районе имеется 3 частных предприятия. Вероятности того, что эти предприятия платят в полном объеме налоги, соответственно равны 0,2; 0,4; 0,1. Налоговая инспекция наудачу проверяет одно из предприятий. 1. Найти вероятность того, что это предприятие платило налоги в полном объеме. 2. Найти вероятность того, что проверено первое предприятие, если при проверке оказалось, что предприятие платило налоги в меньшем объеме.

26. В специализированную больницу поступают в среднем 40 % больных с заболеванием А, 30 % - с заболеванием В и 30 % с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А – 0,4; болезни В – 0,6; болезни С – 0,8. 1. Найти вероятность того, что очередной поступивший больной выпишется здоровым. 2. Поступивший в больницу пациент выписался здоровым. Какова вероятность того, что он страдал заболеванием С.

27.Прибор может работать в режиме А и в режиме В. Режим А наблюдается в 70 % случаев, режим В – в 30 %. Вероятность выхода из строя прибора за некоторое время в режиме А равна 0,1, а в режиме В – 0,7. Прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что он работал: 1) в режиме А; 2) в режиме В.

28. На заводе два цеха с соотношением работников в них 2:3. Вероятность получить профессиональное заболевание при работе в цехе № 1 равна 0,2; в цехе № 2 – 0,1. Наудачу взятый работник получил профессиональное заболевание. Найти вероятность того, что он работал: 1) в цехе № 1; 2) в цехе № 2.

29. На оптовую базу поступает продукция с трех предприятий в пропорции 2:3:1. Вероятность того, что продукция первого предприятия будет иметь сертификат качества – 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,95. Взятая наугад единица продукции не имела сертификата качества. Найти вероятность того, что эту продукцию произвело второе предприятие.

30. В городе имеется 5 филиалов банка “α”, 3 филиала банка “β” и 2 филиала банка “γ”. Вероятность того, что имеются нарушения операций с валютой в филиалах банка “α” – 0,1; в других филиалах соответственно 0,2 и 0,3. В наудачу проверенном филиале банка нарушений не выявлено. Филиал какого банка вероятнее всего был проверен?

Повторение испытаний

Задание 150.Пользуясь формулами Бернулли или Лапласа, найти вероятности событий:

1. Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции равна 0,1. Поступило 5 вызовов. Найти вероятность: 1) 3-х “сбоев”; 2) хотя бы одного “сбоя”; 3) отсутствия “сбоев”.

2. Прибор состоит из шести одинаковых элементов. Вероятность безотказной работы элемента в течение заданного промежутка времени равна 0,6. Найти вероятность: 1) безотказной работы прибора; 2) отказа прибора; 3) отказа 3-х элементов.

3. В магазине 6 кассовых аппаратов. Вероятность того, что кассовый аппарат занят обслуживанием покупателя, равна 0,4. Найти вероятность того, что: 1) 4 кассовых аппарата заняты обслуживанием; 2) не менее 2-х аппаратов заняты обслуживанием; 3) все аппараты заняты обслуживанием.

4.Вероятность выпуска стандартного изделия 0,9. Выпущено 7 изделий. Найти вероятность: 1) выпуска 5 стандартных изделий; 2) выпуска не менее 6 стандартных изделий; 3) выпуска не более 3 стандартных изделий.

5.Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,8. Найти вероятность: 1) 5 попаданий; 2) не менее 2 попаданий; 3) не более 3 попаданий, если производилось 6 выстрелов.

6. Вероятность того, что обратившийся в поликлинику человек имеет страховой полис, равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 человек: 1) 3 имеют страховой полис; 2) хотя бы один человек имеет страховой полис; 3) не менее 2 человек имеют страховой полис.

7. Вероятность того, что студент занимается спортом – 0,2. Какова вероятность того, что из 4 студентов: 1) хотя бы один студент занимается спортом; 2) не менее 2 студентов занимаются спортом; 3) не более 2 студентов занимаются спортом.

8. Вероятность того, что рабочий является членом профсоюза, равна 0,9. Какова вероятность того, что из 5 работников: 1) хотя бы 1 является членом профсоюза; 2) не менее 2 являются членами профсоюза.

9. Вероятность того, что студент опаздывает утром на занятия, равна 0,1. Какова вероятность того, что в течение недели: 1) студент опоздает только 2 раза; 2) опоздает хотя бы 1 раз.

10. Вероятность того, что пришедший в магазин человек сделает покупку, равна 0,8. Найти вероятность того, что из ста человек сделают покупки: 1) ровно 75 человек; 2) не менее 90 человек.

11. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы – 0,75. Найти вероятность того, что: 1) в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы; 2) в течение недели расход электроэнергии не превысит нормы.

12. Вероятность того, что пригласительный билет на КВН достанется студенту экономического факультета – 0,2. Найти вероятность того, что из 400 билетов студентам этого факультета достанется от 70 до 100 пригласительных билетов.

13. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется: 1) 50 мальчиков; 2) не более 40 мальчиков.

14. В лаборатории высеяно 600 семян. Найти вероятность того, что число семян, давших всходы, будет не менее 520 и не более 570. Предполагается, что каждое посеянное зерно всходит с вероятностью 0,9.

15. Найти вероятность того, что в партии из 26 изделий будет половина изделий высшего сорта, если вероятность того, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,4.

16. Вероятность того, что в банке имеют место нарушения операций с валютой – 0,3. Какова вероятность того, что при проверке 5 банков будут обнаружены нарушения операций с валютой: 1) в 2 банках; 2) хотя бы в 1 банке; 3) не более чем в 2 банках?

17.Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,4. Нужно сдать 4 экзамена. Какова вероятность: 1) стать отличником; 2) получить не менее 3 отличных оценок; 3) получить хотя бы одну пятерку?

18. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что в серии из 50 выстрелов будет: 1) 30 попаданий; 2) не менее 30 попаданий.

19.Вероятность неправильного заполнения частным предпринимателем декларации о доходах равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 представленных в налоговую инспекцию деклараций будут заполнены неправильно: 1) 10 деклараций; 2) от 10 до 20 деклараций.

20. Вероятность того, что на оптовую базу, снабжающую товарами 10 магазинов, в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,3 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня поступит: 1) 5 заявок; 2) не менее 6 заявок.

21.Вероятность того, что пригласительный билет на КВН достанется студенту факультета менеджмента, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 300 билетов студентам этого факультета достанется от 20 до 40 пригласительных билетов.

22.Вероятность того, что студент опаздывает утром на занятия, равна 0,1. Какова вероятность того, что в течение трех дней: 1) студент опоздает только 2 раза; 2) опоздает хотя бы 1 раз.

23.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 8 выстрелов будет: 1) 3 попадания; 2) не менее 3-х попаданий.

24. .Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что в серии из 5 выстрелов будет: 1) 2 попадания; 2) не более 3-х попаданий.

25.Контрольный тест состоит из пяти вопросов, на каждый их которых предлагается четыре варианта ответа, среди них только один правильный. Найти вероятность того, что неподготовленный студент (выбирающий ответ наугад) правильно ответит: 1) на три вопроса теста; 2) хотя бы на один из вопросов.

26.Вероятность получения отличной оценки на экзамене равна 0,2. Нужно сдать 3 экзамена. Какова вероятность: 1) стать отличником; 2) получить не менее 2-х отличных оценок; 3) получить хотя бы одну пятерку?

27.Вероятность того, что студент занимается спортом, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 400 студентов первого курса: 1) хотя бы 20 студентов будут заниматься спортом; 2) не более 30 студентов занимаются спортом.

28.Вероятность того, что работник предприятия является членом профсоюза, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 50 работников: 1) хотя бы 40 являются членами профсоюза; 2) не менее 30 являются членами профсоюза.

29.Вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене равна 0,1. Нужно сдать 4 экзамена в сессию. Какова вероятность: 1) сдать все экзамены; 2) получить хотя бы одну двойку?

30.Контрольный тест состоит из пяти вопросов, на каждый их которых предлагается четыре варианта ответа, среди них только один правильный. Найти вероятность того, что неподготовленный студент (выбирающий ответ наугад) правильно ответит: 1) на все вопроса теста; 2) хотя бы на три вопроса.