Загальне рівняння кривої другого порядку

Рівняння

,

де є загальним рівнянням кривої другого порядку на координатній площині .

Очевидно, що отримані канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи , , є частинними випадками рівняння . Але виникає питання, чи визначає це рівняння ще якісь лінії на координатній площині. Відповідь на нього дає наступна теорема.

Теорема. Для кожного рівняння існує система координат , в який воно набуває наступного вигляду:

1) ‑ коло;

2) ‑ еліпс;

3) ‑ порожня множина точок (уявний еліпс);

4) ‑ точка ;

5) ‑ гіпербола;

6) ‑дві прямі що перетинаються ;

7) , ‑парабола;

8) або ‑ дві паралельні прямі;

9) або ‑ порожня множина точок;

10) або ‑ вісь або .

Рівняння п.п.1-10 називаються канонічними виглядами рівняння . Способи побудови системи координат , в який рівняння набуває канонічного вигляду, покажемо на наступних прикладах.

Привести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку:

1)

Згрупуємо члени з та з та виділимо повні квадрати:

Застосуємо формули паралельного переносу:

,

де -центр нової системи координат.

У нашому впадку , тому набудуть вигляду:

Підставимо в отримане рівняння, тоді в системі отримаємо коло з радіусом :

2)

Якщо в , то спершу слід застосувати формули повороту координатних осей

щоб при належному виборі кута звільнитися від члена з добутком координат.

Підставляючи та в задане рівняння, отримаємо:

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

Виберемо кут повороту так, щоб коефіцієт при в обернувся в нуль:

Обидві частини рівняння поділимо на . Слід зазначити, що , оскільки якщо це не так, то з рівняння випливає, що і . А це суперечить основній тригонометричній тотожності .

Після ділення отримаємо:

тобто .

Домовимось завжди брати для з двох можливих значень додатне, а кут повороту в першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо .

Оскільки , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за відомим значенням функції та можуть бути визначено наступним чином:

.

В нашому випадку: .

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з та і виділивши повні квадрати, маємо:

.

.

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. за формулами , отримаємо:

.

Останнє рівняння є рівнянням еліпса (Рис. 44.1).

Рис. 44.1

3)

Виділимо відносно повний квадрат:

або в центрі ‑ уявний еліпс.

4)

Здійснивши аналогічні попереднім перетворення, отримаємо

‑ точка в системі

‑ точка в системі .

5) .

Так як , то спершу застосуємо формули повороту координатних осей , щоб при належному виборі кута звільнитися від члена з добутком координат.

Після підстановки та в задане рівняння, отримаємо:

Далі розкриємо дужки та приведемо подібні доданки:

Виберемо кут повороту так, щоб коефіцієт при в обернувся в нуль:

Обидві частини рівняння поділимо на , . Після ділення отримаємо:

тобто .

Домовимось завжди брати для з двох можливих значень додатне, а кут повороту в першій чверті. Таким чином, з двох можливих значень обираємо .

Оскільки , а кут повороту знаходиться в першій чверті, то за формулами

.

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з та і виділивши повні квадрати, маємо:

.

.

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. за формулами , отримаємо:

,

отже, рівняння набуде вигляду:

.

Отримане рівняння є канонічним рівнянням гіперболи (Рис. 44.2).

Рис. 44.2

6)

Згрупуємо доданки відносно та і виділимо повні квадрати:

Центр нової системи координат перенесемо в точку . В новій системі координат маємо рівняння

,

що визначає дві прямі

7)

Застосуємо формули повороту координатних осей , щоб при належному виборі кута звільнитися від члена з добутком координат та підставимо та в задане рівняння:

або

Прирівнюючи до нуля коефіцієнт при добутку отримаємо:

,

звідки

,

тобто

.

Візьмемо , звідки . Тоді

.

При цих значеннях рівняння набуває вигляду:

.

Згрупувавши члени з та і виділивши повні квадрати, маємо:

;

Виконавши паралельне перенесення системи координат в т. за формулами , маємо:

Відносно нової системи з центром в точці отримали канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі (Рис. 44.3):

.

Рис. 44.3

8) .

Виділимо повний квадрат:

або , тобто .

В результаті отримали дві паралельні прямі: та .

9) .

Виділяючи повний квадрат, одержимо . Ца рівняння не має дійсних розв’язків, тому визначає порожню множину точок.

10) , звідки . Це рівняння визначає вісь .

Задачі для самостійної роботи

Привести до канонічного вигляду рівняння кривих другого порядку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .