Загальне рівняння другого порядку з двома змінними

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА ПЛОЩИНІ

До кривих другого порядку належить такі лінії:коло, еліпс, гіпербола, парабола, рівняння яких у декартовій прямокутній системі координат є рівняння другого ступеня відносно Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Криві другого порядку називають ще конічними перерізами, оскільки їх можна дістати як лінії перетину прямого кругового конуса площинами.

Дійсно:

- Якщо площина перетинає конічну поверхню перпендикулярно осі обертання, то в перетині утворюється коло, якщо площина проходить через вершину конуса, то в результаті утворюється точка, тобто вироджене коло.

- Якщо площина перетинає тільки одну частину конічної поверхні і не паралельна жодній твірній, то в перетині буде еліпс (рис.1а).

- Якщо площина перетинає одну частину конічної поверхні і паралельна одній твірній, то в перетині буде парабола, якщо площина проходить через вершину і одну з твірних, то в перетині буде пряма,тобто вироджена парабола(рис.1б).

- Якщо площина перетинає дві частини конічної поверхні і паралельна осі конічної поверхні, то в перетині буде гіпербола, якщо січна площина проходить через вершину конуса і перетинає дві його частини, то в перетині буде пара прямих, що перетинаються, тобто виродженою гіперболою(рис.1в).

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Рис. 1

Коло

Колом називають геометричне місце точок (ГМТ), рівновіддалених від фіксованої точки – центра кола.

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru Канонічне рівняння кола:

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Наприклад, рівняння

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ,

є рівнянням кола радіуса Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru з центром в точці Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Якщо центр кола збігається з початком координат, то рівняння кола набирає вигляд

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Приклад 1.Скласти рівняння кола радіуса Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru з центром у точці Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Розв’язання:

Підставивши значення координат точки Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і значення радіуса в рівняння кола, матимемо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , або

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Приклад 2. Довести, що рівняння Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru є рівнянням кола. Знайти його центр і радіус.

Розв’язання:

Перетворимо ліву частину заданого рівняння:

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Звідси

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Це рівняння є рівнянням кола з центром у точці Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , радіус кола дорівнює Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Еліпс

Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru (сума фокальних радіусів Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru дорівнює великій півосі еліпса).

Канонічне рівняння еліпса

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

де параметри рівняння Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru дорівнюють півосям еліпса, що розташовані на осях координат Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru відповідно

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - лівий та правий фокуси еліпса,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , де Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - вершини еліпса,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - фокальні радіуси, Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru – ексцентриситет – міра відхилення еліпса від кола,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - рівняння директрис.

Зауваження:

Якщо центр еліпса перенесено в точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то рівняння має вигляд

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Приклад 3.Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , якщо фокальна відстань дорівнює Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Розв’язання:

Оскільки фокальна відстань дорівнює Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Запишемо рівняння еліпса

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

За умовою задачі точка Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru належить еліпсу, отже

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

звідси Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Знайдемо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Отже, шуканим рівнянням еліпса є рівняння

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Приклад 4.Довести, що рівняння Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru є рівнянням еліпса, знайти координати фокусів і фокальну відстань.

Розв’язання:

Розділивши обидві частини рівняння на Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , дістанемо

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

це є рівнянням еліпса.

З рівняння Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru випливає, що Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Оскільки Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , звідси Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Фокуси еліпса знаходяться в точках Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Фокальна відстань Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Гіпербола

Гіперболою називається геометричне місце точок, модуль різниці відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Канонічне рівняння гіперболи

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - лівий та правий фокуси гіперболи,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - вершини еліпса,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - дійсна і уявна осі,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - фокальні радіуси,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru – ексцентриситет,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - рівняння директрис.

Зауваження:

Якщо центр гіперболи перенесено в точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то рівняння має вигляд

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Приклад 5.Записати канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ), якщо фокальна відстань гіперболи дорівнює Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Розв’язання:

Оскільки Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Запишемо канонічне рівняння гіперболи

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

За умовою точка належить гіперболі, отже:

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

З другого рівняння дістанемо співвідношення для визначення Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru :

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Розв’язавши систему:

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

знайдемо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Шуканим рівнянням є рівняння
Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Приклад 6. Довести, що рівняння Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru є рівнянням гіперболи. Знайти координати фокусів.

Розв’язання:

Розділивши обидві частини рівняння на Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , дістанемо

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Це є рівнянням гіперболи, для якої Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Із співвідношення Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru знаходимо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Отже, фокуси гіперболи знаходяться в точках Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Парабола

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru Параболою називається геометричне місце точок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки (фокуса) рівні.

Канонічне рівняння гіперболи

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

де Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - відстань між фокусом Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та директрисою,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru – фокус,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - фокальний радіус,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru – рівняння директриси,

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru - ексцентриситет.

Зауваження:

Якщо центр параболи перенесено в точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то рівняння має вигляд

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Приклад 7.Скласти канонічне рівняння параболи, якщо парабола симетрична відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і проходить через точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Розв’язання:

Оскільки парабола симетрична відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , то задається рівнянням Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru . Точка Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru належить параболі, то Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , звідси Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Отже, рівняння параболи Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними має вигляд

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru

Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

Для визначення типу кривої треба звести це рівняння до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого порядку шляхом виділення повних квадратів.

Потрібно мати на увазі:

1. Якщо коефіцієнти Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru одного знаку і рівні, то це рівняння кола.

2. Якщо коефіцієнти Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru одного знаку, але не рівні - рівняння еліпса.

3. Якщо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru різних знаків - рівняння гіперболи.

4. Якщо Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru або Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru – рівняння параболи.

Завдання для самоконтролю

1. Скласти рівняння кола:

1) з центром у початку координат і радіусом Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) з центром у точці Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і радіусом Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо:

1) відстань між фокусами дорівнює Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а мала вісь Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) дві його вершини знаходяться в точках Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а фокуси Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

3) дві його вершини знаходяться в точках Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а фокуси Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

4) велика вісь Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а ексцентриситет Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомі:

1) координати її вершин Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та координати фокусів Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) координати її вершин Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru та координати фокусів Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

3) відстань між фокусами Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а між вершинами Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

4) дійсна піввісь Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а ексцентриситет Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

5) відстань між фокусами Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а ексцентриситет Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

6) уявна вісь Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru , а відстань між фокусами Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

4. Скласти канонічне рівняння параболи, вершина якої знаходиться у початку координат, якщо відомо:

1) парабола розташована у правій півплощині симетрично відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і її параметр Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) парабола розташована у лівій півплощині симетрично відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і її параметр Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

3) парабола розташована у верхній півплощині симетрично відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і її параметр Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

4) парабола симетрична відносно осі Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru і проходить через точку Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

5. Побудувати криві другого порядку, задані канонічними рівняннями:

1) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

3) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

4) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

6. Визначити тип кривої

1) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

2) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

3) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

4) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

5) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

6) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

7) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru ;

8) Загальне рівняння другого порядку з двома змінними - student2.ru .

7. Земля рухається по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце. Обчислити ексцентриситет земної орбіти, якщо найближча до Сонця точка земної орбіти (перигелій) знаходиться на відстані 147 млн. км від Сонця, а найбільш віддалена від Сонця точка (афелій ) знаходиться на відстані 152 млн. км нього.

8. Ексцентриситет траєкторії руху першої радянської космічної ракети, запущеної в бік Місяця 2 січня 1959 р., дорівнює 1,05. Визначити вид траєкторії ракети.

Наши рекомендации