Тема 4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

( 1 )

де дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді , де – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо

Оскільки то

( 2 )

Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв’язком рівняння 1. Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:

І. і дійсні і різні числа

ІІ. і комплексні числа ;

ІІІ. і - дійсні і рівні числа .

Розглянемо кожен випадок окремо.

І.Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння 1 є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при

.

Загальний розв’язок рівняння 1 знаходять за формулою . ( 3 )

ІІ.Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

Зауважимо ,що коли функція є розв’язком рівняння 1, то розв’язками будуть також функції та . Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:

або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає , що функції та - розв’язки рівняння 1. Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння 1 є функції .

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

( 4 )

ІІІ.Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв’язків : .

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . Знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

або

Оскільки - корінь рівняння 2, то і за теоремою Вієта , тому і звідки де довільні сталі. Поклавши (нас цікавить розв’язок ), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

Розв’язки - лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

. ( 5 )

Приклад 1.

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання :

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв’язок має вигляд:

.

Приклад 2.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв’язок дістанемо за формулою ( 4 ):

.

Приклад 3.

Розв’язати рівняння: y²+2y¢+y=0.

Розв’язання:

Будуємо характеристичне рівняння , звідки .

Отже, загальний розв’язок: .