Действия со степенями
А. . При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
Б. .
В. . Если основания степеней одинаковы, то при умножении показатели степеней складываются, при делении – показатели степеней вычитаются.
Г.
Д.
Е.
Например:
.
.
.
.
.
Задание 3.Найти производную функции .
Решение: Сначала преобразуем по формуле Е:
.
Производную этой функции найдем по формуле Х:
.
Задание 4.Найти производную функции .
Решение: Сначала преобразуем это выражение по формулам Е, Д, Б:
.
Производную этой функции найдем по формулам V, Х:
.
Производную этого выражения можно найти по формуле VI, а потом преобразовать:
Задание 5.Найти производную функции .
Решение:
Сначала преобразовали выражение по формулам Д, Е. Производную вычисляли по формулам III, II, X, затем преобразовали полученное выражение по формулам Д, Е.
Найти самостоятельно производную функции:
2а)
2б)
Задание 6.Найти производную функции .
Решение:
Применили формулу VI. Далее производные находим по формулам III, X, II, I.
Найти самостоятельно производную функции:
3а)
3б)
Задание 7. Найти производную функции .
Решение:
Использовали формулу 10, затем формулы III, V, X.
Найти самостоятельно производную функции:
4а) .
4а) .
Задание 8. Найти производную функции .
Подставим это выражение в виде степени:
.
Производную найдем сначала по формуле 10.
Затем производную находим по формулам III, V, I, X.
Найти самостоятельно производную функции:
5а) .
5б) .
Задание 9.Найти производную функции .
Решение: формула 13, затем формулы III, V, I, X.
Найти самостоятельно производную функции:
6а) .
6б) .
Задание 10.Найти производную функции .
Решение:
формула 12, затем решаем по формулам 11, III, V, I, X.
Найти самостоятельно производную функции:
7а) .
7б) .
Напомним некоторые формулы действий с логарифмическими функциями:
.
.
.
.
.
Эти формулы верны для любого основания логарифмов.
е ≈ 2, 718.
Задание 11.Найти производную функции .
Решение:
формула 8.
Найти самостоятельно производную функции:
8а) .
8б) .
Задание 12.Найти производную функции .
Решение: сначала можно преобразовать по формуле логарифма степени:
.
.
Найти самостоятельно производную функции:
9а) .
9б) .
Задание 13.Найти производную функции .
Решение: - формула 14, V.
Найти самостоятельно производную функции:
10а) .
10б) .
Задание 14.Найти производную функции .
Решение:
(формулы (V, 10, 14).
Найти самостоятельно производную функции:
11а) .
11б) .
Задание 15. Найти производную функции .
Решение: (формулы V, 10, 16).
Найти самостоятельно производную функции:
12а) .
12б) .
Задание 16. Найти производную функции .
Решение:
(формулы IV, XIII, XIV).
Найти самостоятельно производную функции:
13а) .
13б) .
Задание 17. Найти производную функции .
Решение:
(формулы VI, 14, 16, V).
Найти самостоятельно производную функции:
14а) .
14б) .
Задание 18. Найти производную функции .
Решение: (формула 18).
Найти самостоятельно производную функции:
15а) .
15б) .
Задание 19. Найти производную функции .
Решение: (формула 20).
Найти самостоятельно производную функции:
16а) .
16б) .
Задание 20. Найти производную функции .
Решение: Используя формулу , получим .
Найти самостоятельно производную функции:
17а) .
17б) .
Задание 21. Продифференцировать функцию .
Решение: (формулы 12, XIII).
Найти самостоятельно производную функции:
18а) .
18б) .
Производную от данной функции часто называют первой производной(или производной первого порядка). От производной также можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают .
Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Её обозначают .
Например, для функции имеем .