Исследование функций с помощью производной

Пример 1. Исследуем на монотонность и экстремумы функцию f (x) = x³ – 3ln x.

Решение. Функция f (x) определена для всех x > 0, т. е. D (f) = (0; + ). Производная существует в каждой точке промежутка (0; + ), найдем ее:

= 3x² – = .

Так как = 0 лишь при x = 1, то функция f (x) имеет единственную критическую точку x = 1. Рис. 22

При x > 1производная положительна, а при x (0; 1) — отрицательна, следовательно, на промежутке (0; 1] функция убывает, а на промежутке [1; + ) — возрастает (рис. 22). Точка
x = 1 — точка локального минимума функции. Так как она единственная, то в ней функция достигает своего минимума (наименьшего значения): f (1) = 1³ – 3ln 1 = 1.

Ответ. На промежутке (0; 1] функция убывает, на промежутке [1; + ) — возрастает,
наименьшее значение, равное 1, функция достигает в точке x = 1.

Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = .

Решение. Функция f (x) определена для всех x R. Производная существует в каждой точке области определения функции, найдем ее:

= = .

Так как = 0 лишь при x = 4 и при x = –4, то функция f (x) имеет две критические точки x = 4 и x = –4. Рис. 23

При x < –4 и при x > 4производная положительна, а при –4 < x < 4 — отрицательна, следовательно, на промежутках (– ; –4] и [4; + ) функция возрастает, а на промежутке
[–4; 4] — убывает (рис. 23). Точка x = –4 — точка локального максимума функции, а точка x = 4 — точка локального минимума.

Так как f (x) = 0 при x = 0, f (x) < 0 при x > 0 и f (x) > 0 при x < 0, то в точке локального минимума x = 4 функция достигает своего наименьшего значения f (4) = –2, а в точке локального максимума x = –4 она достигает своего наибольшего значения f (–4) = 2.

Ответ. max f (x) = f (–4) = 2, min f (x) = f (4) = –2.

Пример 3*. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости (вогнутости) графика функции f (x) = x³ –3x² + 9x – 4.

Решение. Функция f (x) определена для всех x R. Производная существует в каждой точке области определения функции, найдем ее:

= (x³ –3x² + 9x – 4)′ = 3x² – 6x + 9.

Найдем вторую производную:

= (3x² – 6x + 9)′ = 6x – 6.

Вторая производная обращается в нуль только в точке x = 1. Определим знак второй производной на каждом из интервалов (– ; 1)
и (1; + ) (рис. 24). Рис. 24

Вторая производная функции f (x) в точке x = 1 меняет знак, следовательно, x = 1 — точка перегиба графика этой функции. На интервале (– ; 1) вторая производная отрицательна, поэтому график функции f (x) имеет выпуклость вверх. На интервале (1; + ) вторая производная положительна, поэтому график функции f (x) имеет выпуклость вниз.

Ответ. Функция выпукла вверх на интервале (– ; 1), выпукла вниз на интервале (1; + ).