РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Тема: «Плоская система сходящихся сил»

Цель работы:

Определение усилий в системе сходящихся сил аналитическим и графическим способами

Студент должен знать:

1. проекции сил на оси координат;
2. условия равновесия в системе сил.

Студент должен уметь:

1. определять равнодействующую графическим и аналитическим способами;
2. определять усилия в стержневых системах и идеально гладких поверхностях.

Вопросы для самоконтроля:

1. Сформулировать геометрическое условие равновесия плоской системы сходящихся сил.
2. Сформулировать аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
3. Перечислить способы определения равнодействующей.
4. Что называется силовым многоугольником?
5. Что называется плоской системой сходящихся сил?
6. Что называется «пучком» сил?
7. Пояснить графическое и аналитическое определение проекций силы на оси.
8. В чем заключается смысл рационального проведения осей координат?
9. Как определить знак проекции силы на оси?

Методические указания

1. Указать точку, равновесие которой рассматривается. Такой точкой является центр тяжести тела или точка пересечения всех стержней и нитей.

2. Приложить к рассматриваемой точке активные силы.

Активными силами являются собственный вес тела или вес груза, которые направлены вниз (правильнее — к центру тяжести земли). При наличии блока вес груза действует на рассматриваемую точку вдоль нити. Направление действия этой силы устанавливается из чертежа. Вес тела принято обозначать буквой G.

З. Мысленно отбросить связи, заменяя их действие реакциями связей. Рассматриваются три вида связей — идеально гладкая плоскость, идеально жесткие прямолинейные стержни и идеально гибкие нити, — в дальнейшем именуемые соответственно плоскостью, стержнем и нитью.

При замене связей их реакциями следует помнить, что реакция плоскости направлена по нормали (перпендикуляру) к ней в точке контакта (соприкосновения), а реакции стержня и нити — по их осям. При этом реакция плоскости направлена от нее и проходит через центр тяжести тела, а реакция нити — от рассматриваемой точки или тела (нить всегда испытывает растяжение). Направление реакции стержня заранее неизвестно, поэтому оно может быть принято произвольно. Если направление реакции стержня трудно определить из схемы, то его принимают растянутым, и реакцию направляют от рассматриваемой точки. Истинное направление будет установлено после решения уравнений.

Реакции нити и стержня принято называть усилиями. Реакцию плоскости обозначают буквой R, а усилие в нити и стержне — S или N.

К рассматриваемой точке прикладывают реакции связей. Лучше сделать это на отдельном чертеже, выполненном схематически, придерживаясь масштаба при изображении углов. В результате получают систему трех сходящихся сил. Активная сила (груз или собственный вес тела) известна, а реакции связей (их две) неизвестны.

4. Выбрать положение прямоугольной системы координат. Начало координат совмещают с точкой, равновесие которой рассматривается. Положение осей может быть выбрано произвольно и на конечном результате при правильном решении это не отражается. Обычно используют один из двух приемов для выбора направления осей координат. Первый: одну из осей (любую) направляют так, чтобы она совпала с направлением одной из неизвестных реакций, а другая при этом составляла бы с первой угол 90⁰. Второй: ось у направляют вертикально, а ось х — горизонтально. В частном случае возможен еще один прием для расположения осей: если система сил имеет ось симметрии, то одну из координатных осей совмещают с ней.

Во всех случаях следует определить углы между реакциями и координатными осями и указать их на чертеже.

5. Составить уравнения равновесия вида:

1) , 2) .

Напомним, что проекцией силы на ось является произведение модуля (величины) этой силы на косинус угла между направлениями действия силы и оси. Если угол между направлениями силы и оси острый, то перед величиной проекции ставится знак «плюс», т.е. сила и ось направлены в одну сторону, если они направлены в противоположные стороны, то ставится знак «минус».

Решают систему двух уравнений с двумя неизвестными. При этом если одна из осей совпадает с неизвестной реакцией, то одно из двух уравнений содержит только одно неизвестное, что упрощает решение системы.

Если ответ получится со знаком «минус», то это означает, что направление реакции на чертеже было выбрано неверно, т.е. если до составления уравнений равновесия стержень предполагался растянутым, то в действительности он будет сжатым, и наоборот. Такой ответ не является ошибкой решения (если оно выполнено верно), так как чертеж и ответ вместе дают возможность указать истинное направление реакции.

6. Выполнить проверку решения. Обычно она делается графическим способом.

а) Выбрать масштаб сил (кратный известной силе);

б) от начала построения точки О отложить известную по величине и направлению силу в масштабе и обозначить полученный отрезок О ;

в) через конец отложенной силы (точку ) провести прямую, параллельную одной из связей (стержень, нить) или параллельную идеально-гладкой поверхности;

г) через начало отложенной силы (точку О) провести прямую, параллельную или перпендикулярную другой связи;

д) найти точку пересечения этих линий (точку b);

е) указать направления усилий в полученном замкнутом треугольнике в обход по контуру, начиная с известной силы;

ж) измерить в масштабе каждое усилие (реакцию) на силовом многоугольнике;

з) результат действия каждой реакции определяется по соответствию полученного направления реакции и предварительно указанного на расчетной схеме.

Пример 1. Определить величину и направление реакций связей для схемы, приведенной на рис. 1, а под действием груза G = 30 кН. Проверить правильность определения реакций графическим способом.

Решение

В задаче рассматривается равновесие тела, опирающегося на плоскость и подвешенного на нити.

1. Заменить тело точкой 0, совпадающей с центром тяжести.

2. Приложим к точке О активную силу, которой является собственный вес тела G. Направим ее вниз (рис. 1, 6).

3. Мысленно отбросить связи - плоскость и нить. Заменим их действие на точку О реакциями связей. Реакция плоскости (обо значим ее R) проходит по нормали к плоскости в точке А, а реакция или усилие в нити (обозначим ее S) — по нити от точки. Обе реакции и вес тела или линии их действия должны пересекаться в точке 0.

Изобразим действующие силы в виде системы трех сходящихся сил на отдельном чертеже (рис. 1, в).

рис. 1

4. Выбрать положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой О. Ось х совмещаем с направлением линии действия реакции R, а ось направим перпендикулярно оси х (рис. 1, г). Определим углы между осями координат и реакциями R и S. Обычно рис. 1, 6 и 1, в не выполняют отдельно, а сразу от рис. 1, а переходят к рис. 1, г. Можно было ось у совместить с усилием S, и ось х направить по углом 90⁰, тогда решение было бы другим.

5. Составить сумму проекций всех сил на оси координат:

1) = R_А + S cos60⁰ – G cos40⁰ = 0;

2) = S cos30⁰ – G cos50⁰ = 0.

Решим систему уравнений. Из второго уравнения находим

Из первого уравнения находим

R_А = G cos40⁰ – S cos60⁰ = 30 кН.

6. Проверить решение графическим способом.

Масштаб сил: 1 см = 6 кН, тогда отрезок, равный силе G = 30 кН, будет равен 5 см.

рис. 2

S = Оb = 3,7 см = 22,2 кН

R_А = = 2 см = 12 кН

Ответ: R_А = 11,84 кН; S = 22,27 кН. Знаки «плюс» означают, что предварительные направления реакций выбраны верно.

Пример 2. Определить усилия в нити и стержне кронштейна, показанного на рис. 2, а, если G = 20 кН.

рис. 3

Решение

1. Рассмотреть равновесие точки А (или узла А), в которой сходятся все стержни и нити.

2. Активной силой является вес груза G, направленный вниз (рис. 3, б).

3. Отбросить связи: стержень и нить. Усилие в нити обозначим S₁ и направим от точки А, так как нить может испытывать только растяжение. Усилие в стержне обозначим S₂ и тоже на правим от точки А, предполагая что стержень АС растянут (рис. 3, б).

Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис. 3, в).

4. Выбрать положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой А (рис. 3, г). Ось х совмещаем с линией действия усилия S₁ а ось у располагаем перпендикулярно оси х. Укажем углы между осями координат и усилиями S₁ и S₂

5. Составить уравнения равновесия:

1) = - S₁ – S₂ cos40⁰ – G cos70⁰ = 0;

2) = - S₂ cos50⁰ – G cos20⁰ = 0.

Из второго уравнения находим

Из первого уравнения находим

Знак «минус» перед S₂ свидетельствует о том, что стержень АС не растянут, как предполагалось, а сжат.

6. Выполнить проверку решения графическим способом. (Аналогично примеру1).

Задание для расчетно-графической работы № 1. Определить величину и на правление реакций связей по данным одного из вариантов, показанных на рис. 4.

рис. 4