Линейный интеграл векторного поля

Линейный интеграл векторного поля – это криволинейный интеграл второго рода. Вводится он следующим образом. Пусть в области G задано векторное поле Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , и в этом поле определена гладкая или кусочно-гладкая ориентированная кривая АВ. Разобьём кривую АВ на n частей точками деления Линейный интеграл векторного поля - student2.ru по направлению от А к В. Радиус-вектор точки Линейный интеграл векторного поля - student2.ru обозначим Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Вектор Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Выберем произвольно на каждой частичной дуге Линейный интеграл векторного поля - student2.ru точку Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и вычислим значение поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru в них. Для всех Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вычислим значения скалярного произведения Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и составим сумму вида Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Определение 6.Линейным интегралом векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вдоль дуги АВ называется предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , если наибольшая из длин частичных дуг Линейный интеграл векторного поля - student2.ru стремится к нулю, а число элементарных дуг n неограниченно возрастает. Этот предел обозначают символом Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Т.е.

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (5)

При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Физический смысл выражения Линейный интеграл векторного поля - student2.ru - это работа, произведённая силой Линейный интеграл векторного поля - student2.ru при перемещении материальной точки от А к В по контуру L.

Линейный интеграл векторного поля вдоль замкнутой кривой (контура L) называется циркуляцией поля по замкнутому контуру при заданном направлении обхода контура и обозначается символом

Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru (6)

(знак + обозначает, что контур обходится против часовой стрелки).

Пусть поле задано своими функциями-координатами: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Тогда

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (7)

В правой части выражения (7) - криволинейный интеграл второго рода.

Для плоского поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru линейный интеграл вычисляется по формуле: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (8)

Линейный интеграл векторного поля вычисляется по обычным правилам вычисления криволинейного интеграла второго рода, т.е. преобразовывается в определённый. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование.

Если векторное поле задано в пространстве Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , а линия АВ задана параметрическими уравнениями Линейный интеграл векторного поля - student2.ru то

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (7.1)

Если линия АВ задана системой уравнений Линейный интеграл векторного поля - student2.ru то

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (7.2)

Для плоского векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и линии АВ, заданной параметрическими уравнениями Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , (8.1)

где Линейный интеграл векторного поля - student2.ru - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования.

Для дуги АВ, заданной уравнением Линейный интеграл векторного поля - student2.ru : Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . (8.2)

Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги.

Пример 10.Найти работу векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru при перемещении точки вдоль контура, состоящего из части кривой Линейный интеграл векторного поля - student2.ru от точки Линейный интеграл векторного поля - student2.ru до Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и дуги эллипса Линейный интеграл векторного поля - student2.ru от точки Линейный интеграл векторного поля - student2.ru до Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Решение.

Работа Линейный интеграл векторного поля - student2.ru (см. (8)).

Т. к. контур состоит из двух частей, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Сведём оба интеграла к определённым по формулам (8.1) и (8.2). Линейный интеграл векторного поля - student2.ru

Для вычисления интеграла по контуру ВС используем параметрическую форму записи уравнения эллипса.

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Ответ: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вдоль части кривой Вивиани, заданной пересечением полусферы Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и цилиндра Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.

Решение.

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Воспользуемся формулой (7). Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Т.к. точка перемещается по кривой Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , то считаем параметром полярный угол Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , и получаем следующие параметрические уравнения этой кривой:

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Тогда Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:

Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Учитывая свойства интегралов по симметричному интервалу от нечётных и чётных функций, получим: Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , и

Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Ответ: Ц= Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Формула Грина.

Для плоского векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru имеет место следующее утверждение.

Если функции Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и их частные производные Линейный интеграл векторного поля - student2.ru непрерывны в замкнутой области Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Г, где Г – граница односвязной области G, то

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru - формула Грина. (10)

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки).

Пример 12.Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , соединяющей точки A и B, если Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Решение.

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru По формуле Грина: Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru ; Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru . Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Проверим ответ, вычислив циркуляцию непосредственно по контуру с помощью линейного интеграла: Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru Линейный интеграл векторного поля - student2.ru

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Ответ: Ц Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Контрольное задание 5.

Вычислить линейные интегралы векторного поля:

1) Линейный интеграл векторного поля - student2.ru по ломаной Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

2) Линейный интеграл векторного поля - student2.ru по эллипсу а) Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , б) Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

3) Вычислить циркуляцию векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вдоль эллипса, полученного от пересечения цилиндра Линейный интеграл векторного поля - student2.ru плоскостью Линейный интеграл векторного поля - student2.ru в направлении по часовой стрелке, если смотреть из точки (0;10;0).

4) Вычислить линейный интеграл векторного поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вдоль ломаной линии ABOC, где Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru , Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

5) Найти работу поля Линейный интеграл векторного поля - student2.ru вдоль части линии пересечения цилиндров Линейный интеграл векторного поля - student2.ru и Линейный интеграл векторного поля - student2.ru от точки Линейный интеграл векторного поля - student2.ru через Линейный интеграл векторного поля - student2.ru до точки Линейный интеграл векторного поля - student2.ru .

Наши рекомендации