Пример решения задачи. Двухопорная балка постоянного поперечного сечения нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов

Задача

Двухопорная балка постоянного поперечного сечения нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Для данной балки, изготовленной из пластичного материала с допускаемым напряжением , подобрать из условия прочности двутавровое, прямоугольное (h/b=2) и круглое сечения. Дать заключение о рациональности формы сечения по расходу материала.

2. Для данной балки, изготовленной из хрупкого материала с допускаемыми напряжениями , , определить из условия прочности характерный размер сложного поперечного сечения, предварительно решив вопрос о его рациональном положении. Принять: , .

Решение

1. Рассмотрим первый случай, когда балка изготовлена из пластичного материала.

Построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента :

По эпюре определяем положение опасного сечения – сечение К наиболее опасно, .

Подберем из условия прочности размеры трех форм сечений: двутаврового, прямоугольного и круглого. Для этого, прежде всего, найдем из условия прочности, каким минимальным моментом сопротивления должно обладать поперечное сечение балки:

.

Далее, для каждой из трех форм сечений выразим момент сопротивления с геометрической точки зрения через характерный размер сечения и, приравняв его к расчетному моменту сопротивления , определим характерный размер.

а) Двутавровое сечение:

Тонкостенные профили: двутавры, швеллеры, уголки выпускаются промышленностью определенных стандартных размеров. Номер профиля соответствует его высоте, выраженной в сантиметрах. Все характерные размеры таких профилей, а также их геометрические характеристики (в том числе и ) сведены в таблицы, которые называются «Сортаментом прокатных профилей» (см. Приложение 5 , стр.119). Нам остается лишь по сортаменту указать номер двутавра, у которого момент сопротивления ближайший больший к расчетному: по сортаменту (ГОСТ 8239-89) подходит двутавр №27а, у которого , а площадь сечения .

б) Прямоугольное сечение (h/b=2):

Нейтральная линия прямоугольника – главная центральная ось . Расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения . Тогда . Учитывая, что , выразим момент сопротивления прямоугольника через характерный размер b: . Приравняв его к расчетному значению, находим минимально допустимый размер прямоугольника:

,

тогда площадь прямоугольника: .

в) Круглое сечение:

Здесь все аналогично: нейтральная линия – ось , . Тогда

.

Площадь круглого сечения: .

Наиболее рациональной формой сечения по расходу материала является та, которая имеет наименьшую площадь:

< < .

Следовательно, двутавровое сечение является наиболее рациональным.

2. Рассмотрим балку из хрупкого материала и подберем из условия прочности характерный размер заданного сложного сечения, геометрические характеристики которого были определены в Теме 3.

Нейтральная линия сечения – главная центральная ось , проходящая через центр тяжести. Она делит всё сечение на две зоны – растянутых и сжатых волокон. Учитывая правило знаков для эпюры изгибающих моментов (строится на растянутых волокнах), легко определить расположение соответствующих зон в опасном сечении. На эпюре в опасном сечении К ордината расположена выше осевой линии, следовательно, в этом сечении сверху от нейтральной линии расположены растянутые волокна, а снизу – сжатые. Определим расстояния от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения в зонах растяжения и сжатия: и , учитывая положение центра тяжести сечения (см стр.31):

Решим вопрос о рациональности расположения сечения. Поскольку > , а < , значит сечение расположено нерационально и его нужно перевернуть на :

Теперь условие рациональности выполняется:

> .

Определим положение опасного волокна в опасном сечении:

< ,

следовательно, согласно условию (2) алгоритма опасным является наиболее растянутое волокно.

Запишем условие прочности для растянутого волокна и определим характерный размер сложного сечения , учитывая ранее определенное значение момента инерции .

.

Задача решена.