Полный дифференциал функции нескольких переменных

Определение. Полным приращением функции в точке М(х;у) называется разность , где и произвольные приращения аргументов.

Определение. Функция называется дифференцируемойв точке М(х;у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде .

Определение. Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле:

.

Для функции трех переменных

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства , которые применяются для приближенного вычисления значения функции:

Примеры

а) Вычислить приближенное значение функции в точке М(2,15; 1,25) с помощью полного дифференциала. Ответ сравнить с вычислением на калькуляторе.

Решение.

Используем формулу:

1.Выберем точку с целыми координатами, ближайшую к М - М₀(2;1).

Тогда:

2. Найдем значение функции в точке М₀

3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке М₀

4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке М₀

5. Найдем значение функции в точке М:

6. С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:

б) С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора.

Решение:

1.Введем функцию

Тогда:

2. Найдем значение функции в точке (х₀;у₀)

3. Вычислим частные производные данной функции и найдем их значения в точке (х₀;у₀)

4. Вычислим полный дифференциал и данной функции в точке (х₀;у₀)

5. Таким образом, приближенное значение данного выражения:

6. Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533