Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dxi xi (i=1, ..., m), если x1, ..., xm - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1, ..., хm являются функциями некоторых переменных t1, ..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию = u . v двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен

но следовательно,

d = v . du + u . dv.

Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.

Dz=f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)

При малых Dх и Dу à Dz»dz è

f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y) » z/x¶·Dx+z/y·dy®

f(x+Dx,y+Dy)» f(x,y)+z/x·dx+z/y·dy — формула для приближенных вычислений.

Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше Dх и Dу, тем меньше погрешность.

Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = z/x·dx/dt+ x/y·dy/dt [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение Dt, при этом х=х(t) получит приращение Dх, а у=у(t) à Dу, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение Dz, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

Dz=z/x·Dx + z/y·Dy + a

разделим на Dt и перейдем к пределу

Lim(Dt®0)Dz/Dt = z/x·Lim(Dt®0)Dx/Dt +

+ z/y·Lim(Dt®0)Dy/Dt + Lim(Dt®0)a/Dt

dz/dt = z/x·dx/dt + z/y·dy/dt + Lim(Dt®0) a/r·r/Dt è 0

r=ÖDx2+Dy2Ø

Lim(Dt®0)a/r=0 - по определению дифференциала.

Lim(Dt®0)r/Dt = Lim(Dt®0)Ö(Dx/Dt)2+(Dy/Dt)2Ø=

=Ö(dx/dt)2+(dy/dt)2ع¥

Формула [**] доказана.

Рассмотрим частный случай сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] вместо tàх, получим

dz/dx= z/x·dx/dx+ z/y·dy/dx

dz/dx= z/x+ z/y·dy/dx [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t) è z=z(r,s,..,t) - cложная функция.

При этом формула [**] принимает вид:

z/r=z/x·x/r+x/y·y/r

z/s=z/x·x/s+ z/y·y/s [****]