Фильтрации с теорией функций комплексного переменного

При исследовании плоского фильтрационного потока, под­чиняющегося закону Дарси, можно использовать теорию функ­ций комплексного переменного. Совместим плоскость комплекс­ного переменного z = x+iy с основной плоскостью течения.

Для каждого плоского фильтрационного потока можно най­ти характеристическую функцию течения, или комплексный потенциал F(z), который является функцией комплексного пе­ременного z. В функции F(z) можно отделить действительную часть от мнимой

(IV.21)

где Ф(x, у) — потенциал скорости; ψ(x, у)—функция тока. Эти функции связаны между собой уравнениями Коши — Римана.

(IV.22)

и подчиняется уравнению Лапласа

, (IV.23) Уравнение определяет собой семейство эквипотенциалей, совпадающих с изобарами, так как , а - семейство линий тока. Эквипотенциали и линии тока взаимно ортогональны (рис.17).

Проекции скорости фильтрации на координатные оси находят по формулам

, (IV.24)

а модуль скорости фильтрации

(IV.25)

Время движения частицы жидкости вдоль линии тока s можно определить по формуле

(IV.26)

где — сопряженное с z комплексное переменное.

Если какой-либо сложный плоский фильтрационный поток можно представить как результат наложения нескольких про­стейших потоков, то характеристическая функция сложного потока равна по принципу суперпозиции алгебраической сумме характеристических функций простейших потоков.

Задача 38

Определить дебит батареи из четырех скважин, располо­женных вдали от контура питания, и одной скважины, находя­щейся в центре (рис. 18), ес­ли известно, что все скважины находятся в одинаковых усло­виях; радиус батареи R₁ = 200 м, расстояние до конту­ра питания R_k = 10 км, радиус скважины г_с = 0,1 м, мощность пласта h = 10 м, потенциал на контуре питания Ф_k = 40 см²/с, потенциал на скважинах Ф_с = 30 см²/с.

Решение. Будем исходить из формулы для потенциала при работе группы скважин

(IV.27)

Учитывая, что скважины расположены вдали от контура пи­тания, в точке, помещенной па контуре питания, получим

(IV.28)

Помещая точку М на забой первой скважины и учитывая, что ,будем иметь

(IV.29)

Вычитая из (IV.28) (IV.29) и заменяя (см. рис. 18)

, ,

получим

(IV.30)

Помещая точку на забой центральной скважины, определим :

(IV.31)

Вычитая из (IV.28) (IV.31) и учитывая, что

получим

Подставив в (IV.30) и (IV.31) исходные данные

и решив полученную систему уравнений относительно и найдем

,

Задача 39

Круговой нефтяной пласт радиусом R_k =15 км, мощностью h = 8м эксплуатируется пятью скважинами радиусом r_c =7,5 см, из которых четыре расположены в вершинах квадрата со сто­роной d = 150 м, а пятая — в центре (см. рис. 18). Контурное давление р_k= 10,78 МПа (110 кгс/см²), скважины работают с одинаковым забойным давлением р_с= 8,82 МПа (90 кгс/см²).

Коэффициент проницаемости пласта k = 0,6 Д, динамический коэффициент вязкости нефти μ = 1,1 мПа·с

Определить дебиты скважин и отношение дебитов Q₅/Q₁.

Ответ: Q₁ = 161 м³/сут; Q₅=130 м³/сут; Q₅/Q₁ = 0,812.

Задача 40

Найти значения потенциалов на скважинах, расположенных снмметричнр на расстоянии 2σ = 300 м относительно центра кругового контура питания радиуса R_k = 5 км, если известно, что дебит одной составляет 200 т/сут, а другой — 300 т/сут, по­тенциал на контуре питания Ф_k = 50 см²/с, радиус скважины r_с = 0,1 м, мощность пласта h = 10 м, плотность нефти ρ = 850 кг/м³.

Указание. Считать, что контур питания одинаково удален от каждой из интерферирующих скважин.

Ответ: Ф_C1 = 43,5 см²/с; Ф_C2 = 41,8 см²/с

Задача 41

Определить, при каком постоянном забойном давлении ра­ботала скв. 1 с радиусом г_с = 0,1 м в круговом пласте радиуса R_k=10 км, если при введении скв. 2 с таким же радиусом, рас­положенной на расстоянии 2σ = 150 м от первой и работающей сзабойным давлением p_c2 = 6,82 МПа (70 кгс/см²), скв. 1 была полностью заглушена. Давление на контуре питания р_k = 9,8 МПа (100 кгс/см²).

Решение. Считая скважины достаточно удаленными от кон­тура питания и применяя принцип суперпозиции, запишем вы­ражение для потенциала результирующего течения в произ­вольной точке М (рис. 19).

Помещая точку М на контур первой скважины, получим

помещая ее на контур второй сква­жины, найдем

Так как скв.1 полностью заглуше­на, то ее дебит и уравнения приобретают вид

отсюда, исключая дебит определим потенциал .

Переходя от потенциалов к давлениям, окончательно найдём

МПа

Задача 42

Совершенная скважина расположена в водяном пласте вблизи прямолинейного контура питания. Разность статическо­го и динамического уровней ∆H = 8 м, коэффициент проницае­мости k = 2Д, динамический коэффициент вязкости μ =1 сП, ра­диус скважины

r_c = 10см и мощность пласта h = 12 м. Найти дебит скважины при двух значениях расстояния от контура пи­тания до скважины: 1) a = 100 м, 2) а = 200 м. Представить графически расположение изобар для случая 1) при условии, что статический уровень

H_k = 40 м.

Решение. Дебит скважины вблизи прямолинейного контура питания определяется по формуле

В случае 1)

В случае 2)

Используя метод отображения источников и стоков, получим результирующий потенциал в точке

Переходя от потенциала к давлению и заменяя

,

получим закон распределения давления

откуда найдём уравнение изобары

или

т.е. изобары представляют собой окружности с радиусом и центрами в точках с координатами

Для построения изобар найдем давления на контуре пита­ния и на забое скважины

МПа

МПа

И представим уравнение изобары в виде

где

МПа

Построим изобары с давлениями 0,323 МПа (3,3 кгс/см²); 0,333 (3,4); 0,343 (3,5); 0,353 (3,6); 0,363 (3,7); 0,372 (3,8); 0,377 (3,85); 0,382 (3,9); 0,387 (3,95). Для этих давлений опре­делим , , R (табл. 1) и координаты центров изобар (рис. 20).

Задача 43

Назовем эффектом взаимодействия Е отношение суммарного дебита всех интерферирующих скважин к суммарному дебиту того же числа скважин без учета их взаимодействия.

Найти изменение эффекта взаимодействия в зависимости от числа скважин, эксплуатирующих залежь радиусом R_k = 5000 м; радиус скважины r_с=10 см; скважины работают при постоянной депрессии.

Сопоставить следующие случаи:

а) две скважины находятся ка расстоянии d = 100 м;

б) три скважины расположены в вершинах равносторонне­го треугольника со стороной d= 100 м;

в) четыре скважины — в вершинах квадрата со стороной d = 100 м (рис. 21).

Решение.Считая, что скважины расположены равномерно по окружности, концентричной с контуром питания, использу­ем формулу дебита одной скважины круговой батареи

которую можно упростить в условиях рассматриваемой задачи, так как , и представить в виде

Дебит одиночной скважины в круговом пласте определя­ется по формуле Дюпюи

Дебит одиночной скважины в круговом пласте определя­ется по формуле Дюпюи

Эффект взаимодействия равен

В случае а)

,

б) радиус батареи из трех скважин , расстояние между которыми , равен ; в этом случае

в) радиус батареи из четырех скважин, расположенных в вершинах квадрата со стороной ,составляет .

По полученным данным, и учитывая, что при , построим график изменения эффекта взаимодействия Е_т в за­висимости от числа скважин т (рис. 22).

Задача 44

В круговом пласте радиуса R_k = 200 м работает эксцент­рично расположенная скважина радиусом r_с=10 см (рис. 23).

Найти изменение дебита в зависимости от расположения сква­жины (эксцентриситета δ) по отношению к дебиту скважины, расположенной в центре.

Решение.Дебит эксцентрично расположенной скважины оп­ределяется по формуле

Отношение к

равно

Значения в зависимости от приведены ниже:

……………0,1 0,3 0,5 0,7 0,8 0,9 0,98

………1,000 1,013 1,038 1,097 1,153 1,280 1,735

Задача 45

В круговом пласте радиуса R_k = 150 м с мощностью h = 10 м и коэффициентом проницаемости k = 0,5 Д расположена сква­жина радиусом r_c = 10 см. При ∆p = р_k—р_с = 1,18 МПа (12 кгc/см²) дебит нефти с динамическим коэффициен­том вязкости μ = 2 мПа·с при центральном располо­жении скважины равен 223 м³/сут.

Как необходимо изме­нять депрессию∆p,чтобы при изменении положения скважины относительно цен­тра пласта дебит оставался постоянным?

Решение. Из формулы дебита эксцентрично рас­положенной скважины вы­разим депрессию

и подставим данные задачи

МПа

В зависимости от различных значений эксцентриситета δ получаем соответствующие значения депрессии ∆р (рис.24).

, м…………… 0 15 30 45 60 75

, МПа……… 1,180 1,180 1,173 1,166 1,151 1,134

, м……………………… 90 105 120 135 149

, МПа………………… 1,107 1,071 1,015 0,912 0,483

Задача 46

Вывести формулу дебита скважины круговой батареи ради­уса R, состоящей из т скважин, расположенной в центре кру­гового пласта радиуса R_k, концентрично контуру питания.

Подсчитать дебит при следующих данных: R = 150 м, т = 6, R_к = 3000 м, r_c = 0,1 м, р_k= 11,76 МПа (120 кгс/см²), р_с = 9,8 МПа (100 кгс/см²), коэффициент проницаемости k =0,2 Д, мощность пласта h = 10 м, динамический коэффициент вязкости нефти μ = 2 мПа·с. Сравнить дебит одной скважины батареи с дебитом одной скважины в центре пласта.

Решение. Используя принцип суперпозиции, запишем ре­зультирующий потенциал на забое первой скважины

(IV.32)

где r_1j — расстояние между центрами первой и j-той скважин. Как видно из чертежа (см. рис. 13),

(IV.33)

где

Потенциал на контуре питания

(IV.34)

вычтем из (IV.34) (IV.32), получим

(IV.35)

Преобразуем выражение

(IV.36)

Известно (5), что

Выделив первый сомножитель, равный sin x, из произведения и разделив на него правую и левую части равенства, по­лучим

При левая часть принимает значение т, поэтому

(IV.37)

Подставляя (IV.37) в (IV.35), учитывая (IV.36), найдем

откуда

Подставляя исходные данные, получим

Дебит отдельной скважины, расположенной в центре плас­та, составлял бы

Задача 47

Определить дебиты скважин двух круговых батарей с ради­усами R₁ = 1000 м и R₂ = 600 м, расположенных концентрично в круговом пласте с радиусом кон­тура питания R_k = 3500 м. Сква­жины радиусом r_c =10 см экс­плуатируются при постоянных забойных давлениях p_c1 = 9,8 МПа (100 кгс/см²), р_с2 = 9,31 МПа (95 ктс/см²), давле­ние на контуре питания р_к = 12,25 МПа (125 кгс/см²), мощ­ность пласта h = 10м, коэффици­ент проницаемости пласта k = 0,2 Д, динамический коэффи­циент вязкости нефти μ = 5 мПа·с. Число скважин в батареях m₁= 10, m₂ =6.

Решение.Используя метод Ю. П. Борисова, составим схе­му эквивалентных фильтрационных сопротивлений (рис. 25).

Определим внешние и внутренние фильтрационные сопро­тивления:

Для определения внутренних фильтрационных сопротивле­ний найдем половины расстояний между скважинами первой и второй батарей

Используя законы Ома и Кирхгофа, напишем уравнение для участка цепи между контуром питания и забоем скважины первой батареи

и аналогично между контуром питания и забоем скважины второй батареи

В полученную систему уравнений подставим данные

решая уравнения относительно и , найдем

Учитывая, что и — суммарные дебиты первой и второй батарей, найдем дебиты одной скважины

Задача 48

Определить дебиты скважин, расположенных тремя кольце­выми батареями. Давление иа контуре питания р_к=16,7 МПа, забойные давления на всех эксплуатационных скважинах одинаковы и равны . Радиусы батарей R₁ = 4000 м, R₂ = 3500 м, R₃ = 3000 м. Радиус скважин , радиус контура области питания R_k = 20 км. Расстояние между скважинами в батареях , мощность плас­та h = 10 м, коэффициент проницаемости k = 1Д, динамический коэффициент вязкости нефти μ = 3 мПа·с.

Указание.Задачу решать методом эквивалентных фильтра­ционных сопротивлений Ю. П. Борисова.

Ответ:Q₁ = 57,9 м³/сут; Q₂ = 22,2 м³/сут; Q₃=10,4 м³/сут.

Задача 49

Определить забойные давления скважин, расположенных в круговом пласте радиуса R_k = 10 км двумя концентричными кольцевыми батареями с радиусами R₁ = 2000 м, R₂ = 1200 м. Число скважин в батареях т₁ = 30, т ₂=16; дебит одной сква­жины первой батареи Q₁ = 80 м³/сут, второй — Q₂ = 70 м³/сут; радиус скважины r_с= 10 см, мощность пласта h =15 м, кэффициент проницаемости пласта k = 0,8 Д, динамический коэффи­циент вязкости жидкости μ = 8 сП, давление на контуре пита­ния пласта р_к=14,7 МПа (150 кгс/см²).

Ответ: р_с, = 11,9 МПа (121,5кгс/см²); р_с2=11,7 МПа (119,1 кгс/см²).

Задача 50

В полосообразной залежи имеется один ряд эксплуатаци­онных и один ряд нагнетательных скважин, расположенный между контуром питания и эксплуатационными скважинами (рис. 26). Определить необходимое количество нагнетаемой жидкости , давление нагнетания р_н и утечку жидкости за контур питания (или количество поступающей жид­кости от контура питания), чтобы суммарный дебит эксплуа­тационных скважин составлял Q_э=1000 м³/сут. Ширина за­лежи равна В = 5000 м, мощность пласта h = 10 м, расстояниеот контура питания до ряда нагнетательных скважин L₁ = 1500 м, расстояние между рядами скважин L₂ = 600 м, рас­стояние между нагнетательными скважинами 2σ_H = 300 м, меж­ду эксплуатационными скважинами 2σ_э = 400 м; все скважины гидродинамически несовершенны, приведенный радиус состав­ляет r'_с =0,1 см, давление на контуре питания р_к= 11,76 МПа (120 кгс/см²), давление па забое эксплуатационных скважин р_с = 7,84 МПа (80 кгс/см²), коэффициент проницаемости пласта k = 0,5Д, динамический коэффициент вязкости нефти μ = 4мПа·с.

Решение. Составим схему фильтрационных сопротивлений, отвечающую нашей задаче (рис. 27), и найдем фильтрацион­ные сопротивления, проводя расчет для суммарных дебитов ря­дов.

Внешние сопротивления равны:

между контуром питания и нагнетательным рядом

между рядами скважин

Для определения внутренних сопротивлений найдем число эксплуатационных (т_э) и нагнетательных (т_н) скважин:

точка

Согласно законам Кирхгофа, считая, что жидкость посту­пает в пласт от контура, составим уравнения:

кроме того

Из второго уравнения находим

из третьего — закачиваемый дебит

а из первого — давление нагнетания р_н

Так как , то в действительности имеет место приток жидкости в пласт, а не утечка за контур питания.

Задача 51

Используя данные предыдущей задачи, определить давле­ние нагнетания количество нагнетаемой жидкости и величину утечки за контур питания , если поменять места­ми ряды эксплуатационных и нагнетательных скважин (т. е. рассмотреть случай заводнения со стороны непроницаемой гра­ницы) и принять давление на контуре питания р_к = 9,8 МПа (100 кгс/см²).

Ответ: р_н= 10,19 МПа (104 кгс/см²); = 619 м³/сут; = 383 м³/сут.

Задача 52

Совершенная скважина радиуса r_с = 10 см работает в пла­сте, ограниченном двумя прямолинейными непроницаемыми границами, расположенными под утлом 90° друг к другу (рис. 28). Расстояния до границ равны а=150 м, b = 300 м, рас­стояние до контура питания R_k = 8,0 км. Давление на контуре питания p_k= 11,76 МПа (120 кгс/см²), давление на забое сква­жины p_c = 9,8 МПа (100 кгс/см²), мощность пласта h=12 м, динамический коэффициент вязкости жидкости μ = 3 мПа·с, коэффициент проницаемости k = 700мД. Найти дебит скважины.

Решение.Продолжим непроницаемые границы вверх и вле­во до кругового контура питания радиусом R_к и отобразим скважину-сток относительно них без изменения знака дебита. В результате отображения получим в круговом пласте четыре скважины-стока, из которых одна — реальная и три — фиктив­ные. При этом гидродинамическая картина течения в пласте при отсутствии непроницаемых границ при одновременной ра­боте четырех скважин-стоков будет совпадать с гидродннамической картиной при наличии непроницаемых границ, так как эти границы являются линиями тока. Считая, что контур пита­ния расположен на достаточно большом расстоянии от сква­жин, результирующий потенциал в некоторой точке пласта можно записать в виде суммы потенциалов, возбуждаемых каждым стоком в неограниченном пласте,

Поместим точку М на кон­тур скважины, тогда

Помещая точку М на кон­тур питания, получим

а вычитая, найдем

откуда

или

Задача 53

Определить дебит скважины, работающей в пласте, огра­ниченном двумя прямолинейными непроницаемыми границами, расположенными под углом 60° друг к другу. Расстояние от точки пересечения непроницаемых границ до скважины r =200 м, расстояние до одной из границ а = 50 м, радиус кон­тура питания R_k = 5 км (рис. 29). Мощность пласта h = 10 м, коэффициент проницаемости пласта k = 0,3 Д, динамический коэффициент вязкости жидкости μ = 2 мПа·с, депрессия ∆р = = 2,45 МПа (25 кгс/см²), радиус скважины r_с =0,1 м.

Решение. Продолжим непроницаемые границы и отобразим реальную скважину-сток относительно границ, сохраняя для дебита тот же знак. В результате получим два стока-изобра­жения— № 2 и № б: появление стока-изображения № 6 нарушает условие непроницаемости границы ОА, а наличие стока № 2 нарушает условие на границе ОB, поэтому их надо в свою очередь отразить: №6 - относительно границы ОА, № 2 — относительно ОВ. При этом появляются стоки-изображения № 3 и № 5, из которых № 3 нарушает непро­ницаемость границы а № 5 - границы их изо­бражения относительно этих границ совпадают и дают сток-изображение № 4.

Таким образом, задача о фильтрации в клине сводится к задаче о фильтрации в круговом пласте радиуса R_k, в котором работают одновременно реальная скважина-сток и пять стоков-изображений, расположенных по окружности ра­диуса r.

Применяя принцип суперпозиции, запишем результирующий потенциал на забое реальной скважины:

где

, ,

а угол α определяется из соотношения sin α = а/r = 0,25, α = 14°30' (см. рис. 29).

Потенциал на контуре питания, который считаем удален­ным от группы взаимодействующих скважин, получим в виде

разность потенциалов

откуда

Задача 54

В пласте с эллиптическим контуром питания работает пря­молинейная цепочка, составленная из m = 10 равноотстоящих друг от друга скважин радиусом r_с = 0,1 м. Расстояние между соседними скважинами цепочки 2σ = 300 м. Минимальное рас­стояние от центра залежи до контура питания (малая полуось эллипса) L = 5 км. Мощность пласта h = 10 м, коэффициент проницаемости k = 800 мД, динамический коэффициент вязкости жидкости µ = ЗмПа•с, давление на контуре питания р_к = 11,76 МПа (120 кгс/см²), давление на забое скважин р_с = 9,8 МПа (100 кгс/см²). В пласте имеет место установившаяся фильтрация однородной жидкости по закону Дарси.

Определить дебиты крайних и центральных скважин и со­поставить их с дебитом скважины бесконечной прямолинейной цепочки.

Решение.Дебит одной скважины конечной прямолинейной цепочки в эллиптическом пласте определяется по формуле В.Т.Мироненко.

где β находится из уравнения

х — координата центра скважины (см. рис. 14).

Подставляя данные задачи, найдем

откуда 2β = 0,246, β = 0,132,

,

Для определения — воспользуемся формулой

и получим

Для центральных скважин x₁ = ± 150 м, поэтому

и дебит

Для крайних скважин , поэтому

и дебит равен

Дебит одной скважины бесконечной цепочки в пласте с двусторонним контуром питания, расположенным на расстоянии L=5 км от цепочки, определяется по формуле

Задача 55

Определить, каким плоским фильтрационным потокам соот­ветствуют следующие характеристические функции (комплек­сные потенциалы):

1.

2.

3.

4.

где А и а — действительные постоянные числа.

Решение.Вкачестве примера рассмотрим случаи 2 и 4. Для этих случаев найдем потенциалы скорости фильтрации и функции тока, уравнения изобар и линий тока, модули скорос­тей фильтрации и построим семейства изобар и линий тока. Для случая 2.

Приравнивая действительную часть потенциалу скорости фильтрации Ф, а мнимую часть — функции тока Ψ, получим

Уравнение семейства эквипотенциалей получим, полагая

т.е.

(IV.38)

а уравнение семейства линий тока, полагая

т.е.

(IV.39)

Уравнение (IV.38) определяет собой семейство гипербол, асимптотами которых являются биссектрисы координатных углов, а уравнение (IV.39)—семейство гипербол с асимптота­ми, совпадающими с осями координат (рис. 30).

Найдем составляющие скорости фильтрации w_x и :

и модуль скорости фильтрации

Представим для случая 4 комплексные числа z—а и z + a: в полярных координатах (см. рис. 31):

Тогда комплексный потенциал

Отсюда

и уравнения семейства эквипотенциалей и линий тока можно записать в виде

или

(IV.40)

(IV.41)

Перейдем к декартовым координатам и определим, какие кривые описываются уравнениями (IV.40) и (IV.41). Как вид­но из чертежа (см. рис. 31),

и уравнение (IV.40) принимает вид

или

Дополняя первые два слагаемых до квадрата разности, получим

или

что является уравнением окружности с центром в точке с ко­ординатами

,

и радиус

Как видно из чертежа,

что после подстановки в уравнение (IV.41) дает

Используя формулу тангенса разности двух углов, запи­шем

или

Последнее уравнение можно привести к виду

откуда видно, что оно описывает окружность с центром , и радиусом

Если нанести на рису­нок эквипотенциали и ли­нии тока (рис. 32), то мож­но увидеть, что данная ха­рактеристическая функция

соответствует фильтрацион­ному потоку в неограничен­ной плоскости при наличии источника и стока, распо­ложенных на оси х в точ­ках с координатами + а и — а.

Модуль скорости фильт­рации определим по фор­муле

Задача 56

Эксплуатационная скважина работает в пласте, в котором до ее пробуривания имелся напорный плоскопараллельный поток жидкости со скоростью фильтрации w = 0,001 см/с.

Дебит скважины , мощность пласта h=10 м. Изобразить графически линии тока результирующего течения.

Решение. Используя принцип суперпозиции, запишем ха­рактеристическую функцию для фильтрационного потока как сумму характеристической функции, отвечающей плоскопарал­лельному потоку в направлении оси х и равной (—wz), и характеристической функции плоскорадиального потока со сто­ком в начале координат

Представляя комплексную переменную z в декартовых и полярных координатах

отделим действительную часть от мнимой

и запишем выражение для функции тока

Уравнение линий тока имеет вид

Подставляя исходные данные в системе СГС, получим

или

Запишем последнее уравнение в виде

Рассчитаем несколько линий тока, придавая постоянной с различные значения. Результаты расчетов сведены в табл. 2 и представлены на рис. 33.

Значению соответствует линия тока , . В нижней полуплоскости картина линий тока симметрич­на относительно оси х, только соответствующие линии тока характеризуются значениями с с обратными знаками.

Как видно из графика, линия тока со значением с = 0 явля­ется нейтральной линией, ограничивающей область засасыва­ния, т. е. область, в которой жидкость поглощается скважи­ной. Наибольшая ширина области засасывания равна