Теория функций комплексного переменного

1. Разложить функцию в ряд Лорана в кольцах

и

2. Исследовать характер изолированных особых точек функции , включая и точку . Найти вычеты функции f в этих точках.

3. C помощью теории вычетов вычислить интеграл

.

4. Построить дробно-линейное отображение w(z) круга

на полуплоскость

Функциональный анализ и интегральные уравнения

1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти

, где D(x) – функция Дирихле, - характеристическая функция множества А.

1. Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

1. Является ли оператор , действующий по формуле

Ax = (2x₂, 2x₃, …, 2x_n, …) линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.

1. Пусть , действующий по формуле Ax = (x₁, x₂, 5x₃,0,…). Найти спектр этого оператора.

5. Найти сопряжённый оператор к оператору

A: L [0;1] L [0;1], если (Ax)(t) = .

1. Определить, при каких значениях L [0;1] уравнение

имеет решение в пространстве L [0;1].

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?

2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий:

A = {первый студент взял "хороший" билет};

В = {второй студент взял "хороший" билет};

C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.

3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины имеет форму

Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .

Алгебра и теория чисел

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

.

3. Разложить пространство R⁴ на прямую сумму подпространств размерности 2.

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов линейно независима.

5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного пространства линейно зависимыми.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R², заданного в некотором базисе матрицей

.

8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы

9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где

10. Докажите, что линейные пространства и изоморфны:

C над R , R².

11. Найти матрицу, обратную матрице А

.

12. Вычислить: а) ; б) .

13. С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель (96,165) и выразить его через исходные числа.

14. Составить таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов .

15. Даны два базиса и пространства

Найти матрицу перехода от базиса к .

16. Найти ранг матрицы А

Аналитическая геометрия

1. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и где и – единичные векторы, угол между которыми 60⁰.

2. Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого определяют векторы и , если

3 .Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (12, 6) так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и координатными осями, была равна 150 кв. ед.

4. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0,

3x + y +2z – 3 = 0.

5. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми:

и

6. Через прямую x = 2 + 5t, y = 3 + t, z = –1 + 2t проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости 4x + 3y – z + 3 = 0.

7. Какая плоская фигура задана уравнением:

x² – 4y² + 4x + 24y – 36 = 0.