Дифференцирование функций комплексного переменного

Основные теоретические положения и расчетные формулы.

1.1 Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа:

Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле:

1.2 Элементарные функции комплексного переменного:

Значения показательной функции комплексного переменного вычисляются по формуле:

Показательная функция обладает свойствами:

, , т.е. является периодической функцией с основным периодом .

Тригонометрические функции и выражаются через показательную функцию следующим образом:

,

Функции и - периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули и соответственно.

Функции и определяются соотношениями:

,

Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.

Гиперболические функции определяются соотношениями:

При этом справедливы соотношения, связывающие гиперболические и тригонометрические функции

Логарифмическая функция определяется как функция обратная показательной:

Значение функции, которое получается при , называется главным значением и обозначается

Логарифмическая функция обладает свойствами

Функции определяются как обратные к функциям соответственно. Так, если , то называется арккосинусом числа и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую:

Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются соответственно и называются главными значениями этих функций.

Степенная функция , где - любое комплексное число, определяется соотношением:

Эта функция многозначная, значение называется главным значением.

Показательная функция определяется равенством:

Главное значение этой функции .

Кривые на комплексной плоскости.

Уравнение вида

определяет на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид:

Исключив параметр из этих уравнений (если это возможно), получим уравнение кривой вида .

Дифференцирование функций комплексного переменного

Пусть функция определена в некоторой области комплексного переменного . Пусть и принадлежат области .

Если , то:

Обозначим и соответственно действительную и мнимую часть функции , т.е.

Тогда в каждой точке, в которой существует , выполняются соотношения:

,

называемые условиями Коши-Римана.. Верно и обратное, если в некоторой точке выполняются условия Коши-Римана, а функции и дифференцируемы, то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексного переменного .

Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности. Если является аналитической в каждой точке области , она называется аналитической в области .

Производная аналитической функции определяется по формулам:

Пользуясь условиями Коши-Римана можно восстановить аналитическую функцию , если известна ее действительная часть или мнимая часть .

Пусть, например, . Найти аналитическую функцию .

Из условий Коши-Римана имеем

Интегрируя последнее уравнение по , получим

Отсюда

Таким образом,

и

Постоянная может быть определена, если задано начальное условие .