Критерий коллинеарности двух векторов

Для того, чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение векторов и было нуль-вектором:

Векторы и коллинеарны

Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарные векторы. Тогда . По определению модуля векторного произведения двух векторов , и потому , то есть .

Достаточность. Пусть , или, что то же самое, . Тогда имеем . Отсюда следует, что при и имеет место равенство , то есть векторы и коллинеарны. Критерий доказан.

КРИТЕРИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Первый критерий перпендикулярности двух векторов

Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю:

Доказательство. Необходимость. По определению скалярного произведения двух векторов . Так как по условию , то и потому , что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть , следовательно, по определению скалярного произведения, . Тогда при и имеем , откуда следует, что . Критерий доказан.

Второй критерий перпендикулярности двух векторов

Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений одноименных проекций этих векторов на координатные оси была равна нулю:

Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью вытекает из теоремы о представлении скалярного произведения двух векторов через проекции этих векторов на координатные оси и первого критерия перпендикулярности двух векторов.

КРИТЕРИИ КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

Первый критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю:

Векторы , , компланарны

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , , компланарны, следовательно, по определению, существует плоскость, которой эти векторы параллельны. Вектор , по определению, перпендикулярен каждому из векторов и . Значит, вектор перпендикулярен вектору , и потому, согласно первому критерию перпендикулярности векторов, .

Достаточность. Пусть , тогда . Если, кроме того, учесть, что вектор перпендикулярен каждому из векторов и , то придем к выводу, что векторы , , компланарны.

Второй критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы векторы , , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.

Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из предыдущего критерия с учетом теоремы о представлении смешанное произведения трёх векторов через их проекции на координатные оси.

Третий критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы:

Векторы , , компланарны

Векторы , , линейно зависимы

Доказательство. Необходимость. Для того, чтобы показать, что векторы , , линейно зависимы докажем, что если векторы и неколлинеарны, то существуют такие действительные числа и , что

.

Векторы , , предполагаются компланарными и потому можно считать, что . Итак, докажем, что если векторы и неколлинеарны, то существуют такие действительные числа и , что

(1)

Если

, (2)

то, в силу теоремы Крамера, система (1) однозначно определяет и . В этом случае векторы , , линейно зависимы.

Условие (2) означает, что векторы и неколлинеарны.

Если же

, то, учитывая, кроме того, что , получим .

А отсюда следует, что векторы и коллинеарны, а, следовательно,

линейно зависимы и потому векторы , , линейно зависимы.

Достаточность. Если векторы , , линейно зависимы, то хотя бы один из них можно выразить в виде линейной комбинации с действительными числами двух других векторов. Положим .

Тогда или

Учитывая, что и , получим , и потому, согласно первому критерию компланарности трёх векторов, векторы , , компланарны, что и требовалось доказать.

22. ТЕОРЕМА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЛЮБЫХ n+1 ВЕКТОРОВ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Любые векторов в -мерном пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Мы рассмотрим теорему для .

. В одномерном пространстве любые два вектора коллинеарны и потому линейно зависимы.

. В двумерном пространстве любые три вектора компланарны и потому линейно зависимы.

. Для того чтобы доказать, что в трёхмерном пространстве любые четыре вектора , , , линейно зависимы, покажем, что если векторы , и некомпланарны, то существуют такие действительные числа , и , что , то есть покажем, что если векторы , и некомпланарны, то существуют такие действительные числа , и , что

(1)

Если

, (2)

то в силу теоремы Крамера, система (1) однозначно определяет , и . В этом случае векторы , , и линейно зависимы.

Условие (2) означает, что векторы , и некомпланарны. Если же

, (3)

то векторы , и компланарны, а, следовательно, линейно зависимы и потому векторы , , и линейно зависимы.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , и потому

,

где через обозначена площадь треугольника .

Применим теорему о представлении векторного произведения двух векторов через проекции перемножаемых векторов на координатные оси и теорему о проекции вектора на числовую ось.

Тогда для площади треугольника с вершинами в точках , , получим

или

Площадь треугольника с вершинами в точках , , может быть вычислена по формуле

или, что то же самое,

.