Статистические распределения

И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярная физика и термодинамика изучают макроскопические процессы в телах, связывая их с огромным числом атомов и молекул, из которых состоят эти тела. Два отмеченных подхода различны, но взаимно дополняют друг друга.

Молекулярная (статистическая) физика использует математический аппарат теории вероятностей и представляет процессы, происходящие в телах как результат осредненного движения атомов и молекул.

Термодинамика основана на общих принципах (началах),которые являются обобщением опытных фактов и используются для описания состояния термодинамической системы в условиях равновесия и процессов перехода из одного состояния в другое.

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов (мкт)

5. 1. Основное уравнение молекулярно-кинетической

теории идеальных газов

В молекулярно-кинетической теории (МКТ) используют модель идеального газа, которая удовлетворяет следующим условиям:

собственный объем молекул газа мал по сравнению с занимаемым этим газом объемом (молекулы газа рассматриваем как материальные точки);

между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

столкновения молекул газа между собой и со стенками абсолютно упругие.

Основное уравнение МКТ связывает параметры состояния газа: давление Р, объем V и абсолютную температуру Т с осредненными характеристиками движения его молекул, т. е. со средней квадратичной скоростью и средней кинетической энергией молекул .

Вывод основного уравнения МКТ существенно упрощается, если рассматривать одноатомный идеальный газ, молекулы которого движутся с постоянной скоростью , а число столкновений между ними малό по сравнению с числом ударов о стенки сосуда (столкновения абсолютно упругие). Хаотическое движение молекул, для которых равновероятны все направления, заменим движением вдоль трех взаимно-перпендикулярных осей x, y, z.

Выделим на стенке сосуда (рис. 5.1) элементарную площадку Ds и рассчитаем давление, которое оказывает на нее идеальный газ.

При каждом соударении молекула массой m_о передает стенке импульс

(5.1)

За время выделенной площадки могут достигнуть только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием и высотой . Если принять, что n – концентрация молекул, т. е. количество молекул в единице объема, то общее число молекул, находящихся в объеме цилиндра, можно представить как

(5.2)

	Учитывая принятые упрощения в движении молекул, в любой момент времени вдоль оси x движется 1/3 всех молекул (1/3 N), находящихся в объеме выделенного цилиндра, а к рассматриваемой площадке – 1/6 N,
Рис. 5.1

так как два направления равновероятны.

Следовательно, о площадку ударится 1/6 N или 1/6 молекул, которые передадут ей импульс

. (5.3)

По второму закону Ньютона

. (5.4)

Давление Р, оказываемое на площадку, определится как

(5.5)

При выводе уравнения предполагалось, что скорости молекул одинаковы, однако, они двигаются с разными скоростями v₁, v₂, ... v_n. Таким образом, всю совокупность молекул N характеризует средняя квадратичная скорость , которая определяется как

. (5.6)

С учетом этого формула (5.5) примет вид

(5.7)

или

(5.8)

Выражения (5.7) и (5.8) – основное уравнение МКТ.

Связь термодинамической характеристики газа, его температуры T, с осредненной кинетической энергией теплового движения молекул была установлена Больцманом и имеет вид

(5.9)

где k – постоянная Больцмана, равная

Согласно (5.9) при Т = 0 средняя кинетическая энергия теплового движения молекул , т. е. должно прекратиться тепловое движение молекул.

Из основного уравнения МКТ (5.8) и формулы (5.9) следует, что

(5.10)

т. е. давление идеального газа прямо пропорционально концентрации его молекул и температуре газа.

Уравнения (5.8) – (5.10) являются основными уравнениями МКТ идеального газа.

5. 2. Уравнение состояния идеального газа

(Клапейрона – Менделеева)

Опыт показывает, что в состоянии термодинамического равновесия давление газа Р, его объем V и температура Т находятся в функциональной зависимости не только для идеальных, но и для реальных газов, которая может быть выражена уравнением

(5.11)

Уравнение (5.11) называется уравнением состояния. Вид уравнения получен путем обобщения опытных данных, которые известны как

закон Бойля – Мариотта

(5.12)

закон Гей – Люссака

(5.13)

закон Шарля

(5.14)

Таким образом, для одного моля газа связь параметров состояния имеет вид

(5.15)

где – объем одного моля газа, который согласно закону Авогадро одинаков для всех газов при одинаковой температуре и давлении; R – универсальная газовая постоянная, равная

Для любой массы газа уравнение состояния имеет вид

(5.16)

где – объем, который занимает весь газ; – соответственно масса и молекулярная масса газа; – число молей газа.

Уравнение (5.16) получено умножением обеих частей (5.15) на число молей газа и называется уравнением Клапейрона – Менделеева.

И ТЕРМОДИНАМИКИ

Молекулярная физика и термодинамика изучают макроскопические процессы в телах, связывая их с огромным числом атомов и молекул, из которых состоят эти тела. Два отмеченных подхода различны, но взаимно дополняют друг друга.

Молекулярная (статистическая) физика использует математический аппарат теории вероятностей и представляет процессы, происходящие в телах как результат осредненного движения атомов и молекул.

Термодинамика основана на общих принципах (началах),которые являются обобщением опытных фактов и используются для описания состояния термодинамической системы в условиях равновесия и процессов перехода из одного состояния в другое.

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов (мкт)

5. 1. Основное уравнение молекулярно-кинетической

теории идеальных газов

В молекулярно-кинетической теории (МКТ) используют модель идеального газа, которая удовлетворяет следующим условиям:

собственный объем молекул газа мал по сравнению с занимаемым этим газом объемом (молекулы газа рассматриваем как материальные точки);

между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

столкновения молекул газа между собой и со стенками абсолютно упругие.

Основное уравнение МКТ связывает параметры состояния газа: давление Р, объем V и абсолютную температуру Т с осредненными характеристиками движения его молекул, т. е. со средней квадратичной скоростью и средней кинетической энергией молекул .

Вывод основного уравнения МКТ существенно упрощается, если рассматривать одноатомный идеальный газ, молекулы которого движутся с постоянной скоростью , а число столкновений между ними малό по сравнению с числом ударов о стенки сосуда (столкновения абсолютно упругие). Хаотическое движение молекул, для которых равновероятны все направления, заменим движением вдоль трех взаимно-перпендикулярных осей x, y, z.

Выделим на стенке сосуда (рис. 5.1) элементарную площадку Ds и рассчитаем давление, которое оказывает на нее идеальный газ.

При каждом соударении молекула массой m_о передает стенке импульс

(5.1)

За время выделенной площадки могут достигнуть только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием и высотой . Если принять, что n – концентрация молекул, т. е. количество молекул в единице объема, то общее число молекул, находящихся в объеме цилиндра, можно представить как

(5.2)

	Учитывая принятые упрощения в движении молекул, в любой момент времени вдоль оси x движется 1/3 всех молекул (1/3 N), находящихся в объеме выделенного цилиндра, а к рассматриваемой площадке – 1/6 N,
Рис. 5.1

так как два направления равновероятны.

Следовательно, о площадку ударится 1/6 N или 1/6 молекул, которые передадут ей импульс

. (5.3)

По второму закону Ньютона

. (5.4)

Давление Р, оказываемое на площадку, определится как

(5.5)

При выводе уравнения предполагалось, что скорости молекул одинаковы, однако, они двигаются с разными скоростями v₁, v₂, ... v_n. Таким образом, всю совокупность молекул N характеризует средняя квадратичная скорость , которая определяется как

. (5.6)

С учетом этого формула (5.5) примет вид

(5.7)

или

(5.8)

Выражения (5.7) и (5.8) – основное уравнение МКТ.

Связь термодинамической характеристики газа, его температуры T, с осредненной кинетической энергией теплового движения молекул была установлена Больцманом и имеет вид

(5.9)

где k – постоянная Больцмана, равная

Согласно (5.9) при Т = 0 средняя кинетическая энергия теплового движения молекул , т. е. должно прекратиться тепловое движение молекул.

Из основного уравнения МКТ (5.8) и формулы (5.9) следует, что

(5.10)

т. е. давление идеального газа прямо пропорционально концентрации его молекул и температуре газа.

Уравнения (5.8) – (5.10) являются основными уравнениями МКТ идеального газа.

5. 2. Уравнение состояния идеального газа

(Клапейрона – Менделеева)

Опыт показывает, что в состоянии термодинамического равновесия давление газа Р, его объем V и температура Т находятся в функциональной зависимости не только для идеальных, но и для реальных газов, которая может быть выражена уравнением

(5.11)

Уравнение (5.11) называется уравнением состояния. Вид уравнения получен путем обобщения опытных данных, которые известны как

закон Бойля – Мариотта

(5.12)

закон Гей – Люссака

(5.13)

закон Шарля

(5.14)

Таким образом, для одного моля газа связь параметров состояния имеет вид

(5.15)

где – объем одного моля газа, который согласно закону Авогадро одинаков для всех газов при одинаковой температуре и давлении; R – универсальная газовая постоянная, равная

Для любой массы газа уравнение состояния имеет вид

(5.16)

где – объем, который занимает весь газ; – соответственно масса и молекулярная масса газа; – число молей газа.

Уравнение (5.16) получено умножением обеих частей (5.15) на число молей газа и называется уравнением Клапейрона – Менделеева.

Статистические распределения

При термодинамическом равновесии в любой макроскопической системе статистические распределения физических величин имеют универсальный вид, установленный Гиббсом. Частными случаями распределения Гиббса являются распределения молекул идеального газа по скоростям (закон Максвелла) и распределение положения молекул в потенциальном поле (распределение Больцмана).

Распределение молекул газа по скоростям (закон Максвелла)

В результате теплового движения молекул в газе, находящемся в состоянии теплового равновесия, устанавливается некоторое стационарное (постоянное) распределение молекул по скоростям.

	Если отложить на оси ординат функцию распределения , а на оси абсцисс скорости молекул , и разбить диапазон изменения скоростей молекул на малые интервалы , то на каждый
Рис. 5.2

интервал будет приходиться некоторое количество молекул , имеющих скорость, заключенную в данном интервале (рис. 5.2).

Функция распределения Максвелла определяет относительное количество молекул , скорости которых заключены в интервале от v до , т. е.

(5.17)

Таким образом, площадь на рис. 5.2 определяет относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от v до .

Вид функции распределения молекул по скоростям , с использованием теории вероятностей был установлен Максвеллом

(5.18)

Конкретный вид функции зависит от массы молекул и температуры газа. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, т. е. функция распределения удовлетворяет условиям нормировки

(5.19)

а это есть численное значение площади под кривой.

Скорость, при которой функция распределения имеет максимум, называется наиболее вероятной скоростью. Значение можно вычислить, приравняв производную

(5.20)

Скорость, определяемая выражением (5.20), имеет наибольшее число молекул.

В МКТ пользуются также понятием среднеарифметической скорости , которая также вычисляется из закона распределения Максвелла

(5.21)

Напомним, что выражение для среднеквадратичной скорости имеет вид

(5.22)

	Из формул (5.23)–(5.25) видно, что скорости молекул зависят от температуры. При повышении температуры (рис. 5.3) максимум функции распределения смещается вправо, но площадь под кривой численно равна 1.
Рис. 5.3