Атом водорода в теории Бора
• Момент импульса электрона на стационарных орбитах
L=mvr = nħ (n=1,2,3,…),
где т — масса электрона; r — радиус орбиты; v — скорость электрона на орбите; п — главное квантовое число; ħ — постоянная Планка.
• Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,
,
где ε0 — электрическая постоянная.
• Сериальная формула, определяющая длину волны λ или частоту υ света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,
, ,
где R' и R —постоянная Ридберга (R'=1,097∙107 м-1; R=c∙R'=3,29∙1015 с-1); m и m — целые числа; n — номер серии спектральных линий (n=l — серия Лаймана, n=2 — серия Бальмера, n=3 — серия Пашена и т. д.). Для данной серии n=m+l, m+ 2, m+3 и т. д.
• Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного
стационарного состояния в другое,
,
где Ei — энергия ионизации водорода: Ei=2πhħR=13,6 эВ.
Волновые свойства микрочастиц
· Формула де Бройля, выражающая связь длины волн с импульсом р движущейся частицы, для двух случаев:
а) в классическом приближении (n<<c; p= m0n)
l = 2pħ/p
б) в релятивистском случае (скорость и частицы сравнима со скоростью с света в вакууме;
· Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы:
а) в классическом приближении
б) в релятивистском случае , где E0 — энергия покоя частицы.
· Фазовая скорость волн де Бройля
n = w/k
где w — круговая частота; k — волновое число (k = 2p/l).
· Групповая скорость волн де Бройля
.
· Соотношения де Бройля:
E=ħw, p = ħk,
где Е — энергия движущейся частицы; р — импульс частицы; k — волновой вектор;
ħ - постоянная Планка (ħ =h/(2p) =1,05.10-34 Дж.с).
· Соотношения неопределенностей:
а) для координаты и импульса частицы DpDx≥ħ где Dpx — неопределенность проекции импульса частицы на ось х; Dx — неопределенность ее координаты;
б) для энергии и времени DEDt≥ħ, где DE — неопределенность энергии данного квантового состояния; Dt — время пребывания системы в этом состоянии.
Радиоактивность
• Основной закон радиоактивного распада
N=N0e-λt,
где N — число нераспавшихся атомов в момент времени t; N0— число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (при t=0); е — основание натуральных логарифмов; λ — постоянная радиоактивного распада.
• Период полураспада T1/2 — промежуток времени, за который число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с постоянной распада соотношением
T1/2 = ln2/λ = 0,693/λ .
• Число атомов, распавшихся за время t,
∆N = N0 - N = N0, (1 - е-λt).
Если промежуток времени ∆t << T1/2. то для определения числа распавшихся атомов можно применять приближенную формулу
∆N ≈ λN∆t
Среднее время жизни т радиоактивного ядра — промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:
τ = 1/λ
• Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,
N = (m/M)×NA
где m — масса изотопа; М — его молярная масса; NA — постоянная Авогадро.
• Активность А нуклида в радиоактивном источнике (активность изотопа) есть величина, равная отношению числа dN ядер, распавшихся в изотопе, к промежутку времени dt, за которое произошел распад. Активность определяется по формуле
A = -dN/dt = λN,
или после замены N по основному закону радиоактивного распада
A = λN0e-λt
Активность изотопа в начальный момент времени (t=0)
A0 = λN0 .
Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер:
A = A0e-λt
• Массовая активность а радиоактивного источника есть величина равная отношению его активности A к массе т этого источника, т. е.
a = A/m.
● Если имеется смесь ряда радиоактивных изотопов, образующихся один из другого, и если постоянная распада λ первого члена ряда много меньше постоянных всех остальных членов ряда, то в смеси устанавливается состояние радиоактивного равновесия, при котором активности всех членов ряда равны между собой:
λ1N1 = λ2N2 = … = λkNk..
Примеры решения задач
Пример 1. На толстую стеклянную пластинку, покрытую очень тонкой пленкой, показатель преломления n2 вещества которой равен 1,4, падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=0,6 мкм). Отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Определить толщину d пленки.
Рис. 2
Решение. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий пучок SA. Ход этого пучка в случае, когда угол падения ε1 0, показан на рис. 2. В точках A и В падающий пучок частично отражается и частично преломляется. Отраженные пучки света AS1 и BCS1 падают на собирающую линзу L, пересекаются в ее фокусе F и интерферируют между собой.
Так как показатель преломления воздуха (n1= 1,00029) меньше показателя преломления вещества пленки (n2=1,4), который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла (n3=1,5), то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та среда, в которой идет падающая волна. Поэтому фаза колебания пучка света AS1 при отражении в точке A изменяется на π рад и точно так же на π рад изменяется фаза колебаний пучка света BCS2 при отражении в точке В. Следовательно, результат интерференции этих пучков света при пересечении в фокусе F линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы колебаний ни у того, ни у другого пучка не было.
Как известно, условие максимального ослабления света при интерференции в тонких пленках состоит в том, что оптическая разность хода Δ интерферирующих волн должна быть равна нечетному числу полуволн; Δ=(2k+1)(λ/2).
Как видно из рис. 2, оптическая разность хода
Δ=l2n2— l1n1=(|АВ| +|ВС|) п2—|AD| n1.
Следовательно, условие минимума интенсивность света примет вид
(|АВ| +|ВС|) п2—|AD| n1=(2k+1)(λ/2).
Если угол падения ε1 будет уменьшаться, стремясь к нулю, то AD 0 и (|АВ|+|ВС| 2d, где d—толщина пленки. В пределе при ε1=0 будем иметь
Δ=2dn2=(2k+1)(λ /2),
откуда искомая толщина пленки
.
Полагая k=0,1,2,3,…, получим ряд возможных значений толщины пленки:
и т.д.
Пример 2. На стеклянный клин нормально к его грани падает монохроматический свет с длиной волны λ=0,6 мкм. В возникшей при этом интерференционной картине на отрезке длиной l=1 см наблюдается 10 полос. Определить преломляющий угол θ клина.
Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти пучки когерентны, и поэтому наблюдается устойчивая картина интерференции. Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых углах клина, то отраженные пучки света 1 и 2 (рис. 3) будут практически параллельны.
Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода кратна нечетному числу половины длины волны;
Δ=(2k+1) (λ/2), где k=0,1,2,…. (1)
Разность хода Δ двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн (2dn cosε2’) и половины длины волны (λ/2).
Рис. 3
Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении волны от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода Δ, получим
2dkn cos ε2’ + λ/2 = (2k + 1) (λ/2), (2)
где п — коэффициент преломления стекла (n=l,5); dk—толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; ε2’—угол преломления.
Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления ε2’ равен нулю, a cos ε2’=1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим
2dkn=kλ (3)
Пусть произвольной темной полосе номера k соответствует определенная толщина клина в этом месте dk а темной полосе номера k+10 соответствует толщина клина dk+10. Согласно условию задачи, 10 полос укладываются на отрезке длиной l=1 см. Тогда искомый угол (рис. 3) будет равен
θ=(dk+10 – dk)/l, (4)
где из-за малости преломляющего угла sin θ=θ (угол θ выражен в радианах).
Вычислив dk и dk+10 из формулы (3), подставив их в формулу (4) и произведя преобразования, найдем
θ=5λ/(nl).
После вычисления получим
θ=2∙10-4paд.
Выразим θ в градусах. Для этого воспользуемся соотношением между радианом и секундой (см. табл. 6); 1 рад=2,06"∙105, т. е.
θ=2∙10-4∙2,06''∙105=41,2'',
или в соответствии с общим правилом перевода из радиан в градусы
θград = θрад, θ= .
Искомый угол равен 41,2".
Пример 3. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние bmax от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
Решение. Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.
Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно Рис. 4 в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.
Из рис. 4 следует, что расстояние от точки наблюдения O на экране до края отверстия на 2 (λ/2) больше, чем расстояние bmax.
По теореме Пифагора получим
.
Учтя, что λ<<bmах и что членом, содержащим λ2, можно пренебречь, последнее равенство перепишем в виде
r2=2λbmax. откуда bmax=r2/(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем
bmax=1 м.
Пример 4. На щель шириной а=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L=l м.
Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 5).
Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием
a sin φ=±kλ, (1)
где k — порядок минимума; в нашем случае равен единице.
Расстояние между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу: l=2L tgφ. Заметив, что при малых углах tg φ sin φ, перепишем эту формулу в виде
Рис. 5
l=2L sin φ. (2)
Выразим sin φ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):
l=2Lkλ/a. (3)
Произведя вычисления по формуле (3), получим l=1,2 см.
Пример 5. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L=l м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 6). Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число n штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φmах отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму.
Решение1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волны λ и угол φ отклонения лучей, соответствующий k-му дифракционному максимуму, связаны соотношением
dsin φ=kλ, (1)
где k — порядок спектра, или в случае монохроматического света порядок максимума.
В данном случае k=1, sin φ=tg φ (ввиду того, что l/2<<L), tgφ=(l/2)L (следует из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид
Рис. 6 ,
откуда постоянная решетки
d=2Lλ/l.
Подставляя данные, получим
d=4,95 мкм.
2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы
п=1/d.
После подстановки числовых значений получим n=2,02-103 см-1.
3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmax исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.
Из формулы (1) запишем
. (2)
Подставляя сюда значения величин, получим
Kmax =9,9.
Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin φ должен быть больше единицы, что невозможно. Следовательно, kmах=9.
Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmах, т. е. всего 2kmах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов
N=2kmax+l.
Подставляя значение kmах найдем
N=2∙9+1=19.
4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выразим из соотношения (2) синус этого угла:
sinφmax=kmaxλ/d.
Отсюда
φmax=arcsin(kmaxλ/d).
Подставив сюда значения величин λ, d, kmах и произведя вычисления, получим
φmах=65,4°.
Пример 6. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ=500 нм Принимая Солнце за черное тело, определить. 1) энергетическую светимость Me Солнца;
2) поток энергииФе, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.
Решение: 1. Энергетическая светимость Me черного тела выражается формулой Стефана — Больцмана
Re=sT4 (1)
Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина. λm=b/T. Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в формулу (1), получим
Re=s (bλm)4, (2)
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
Re =64 МВт/м2.
2. Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности.
Фе = 4πr2Re , (3)
где r — радиус Солнца
Подставив в формулу (3) значения π, r и Re и произведя вычисления, получим
Фе =3,9∙1026 Вт.
3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t=1 с, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии Е=тс2. Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время Е=Фt. Следовательно, Фе = тс2, откуда т= Фе /с2
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
m = 4,3∙109 кг.
Пример 7. Длина волны λm , на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (rλ,T)max , рассчитанную на интервал длин волн ∆λ=1нм, вблизи λm.
Решение. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой
(rλ,T)max = СТ5. (1)
Температуру Т выразим из закона смещения Вина λm =b/Т, откуда Т=b/λт
Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем
(rλ,T)max=C(b/λm)5,
В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн ∆λ=1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:
С=1,30∙10-5 Вт/(м3К5)=1,30∙10-5 Вт/(м2∙м∙K5) =
=1,30∙10-14 Вт/(м2∙нм∙К5).
Вычисление по формуле (2) дает
(rλ,T)max=40,6 кВт/(м∙нм).
Пример 8. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 =0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны λ2=2,47 пм.
Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
ε =A+Tmax (1)
Энергия фотона вычисляется по формуле ε = hc/λ , работа выхода для серебра A =4,7 эВ.
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена или по классической формуле
T= ½ m0v2 (2)
или по релятивистской
Т = (m—m0)c2 (3)
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона Е0 , то может быть применена формула (2); если же ε сравнима по размеру с Е0 , то вычисление по формуле (2) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (3)
1. В формулу энергии фотона ε = hc/λ подставим значения величин h, с и λ и, произведя вычисления, для ультрафиолетового излучения получим
ε1 = 8 эВ.
Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена
по классической формуле (2) ε1=A+ ½ m0v2max , откуда
(4)
Выпишем величины, входящие в формулу (4): ε1=1,28×10-18 Дж (вычислено выше); A=4,7 эВ = 4,7×1,6∙10-19 Дж = 0,75∙10-18 Дж; m0=9,11×10-31 кг.
Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максимальную скорость:
vmax =1,08 Мм/с.
2. Вычислим теперь энергию фотона γ-излучения:
ε2=hc/λ2 = 8,04 фДж = 0,502 МэВ.
Работа выхода электрона (A = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ-фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:
Tmax = ε2=0,502 МэВ.
Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии,
где E0=m0c2.
Выполнив преобразования, найдем
Сделав вычисления, получим
β = 0,755.
Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ-излучением,
vmax=cβ=226 Mм/c.
Пример 9. Определить красную границу λ0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ=400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.
Решение. При облучении светом, длина волны λ0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта ε =A+T в случае красной границы запишется в виде
ε = A, или hc/ λ0=A.
Отсюда
λ0 =hc/A . (1)
Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:
(2)
Выпишем числовые значения величин, выразив их в СИ: h=6,62∙10-34 Дж∙с; с = 3∙108 м/с; λ=400 нм=4∙10-7 м; m=9,11∙10-31 кг; v = 6,5∙105 м/с.
Подставив эти значения величин в формулу (2) и вычислив, получим
A=3,05×10-19 Дж = 1,9 эВ.
Для определения красной границы фотоэффекта подставим значения A, h и с в формулу (1) и вычислим:
λ0=651 нм.
Пример 10. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность Поток энергии Фе=0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время t=5 с
Решение Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:
F=pS. (1)
Световое давление может быть найдено по формуле
P=Ee(ρ+l)/c. (2)
Подставляя выражение (2) дaвлeния света в формулу (1), получим
F= [(EeS)/c]∙(ρ+1). (3)
Так как произведение облученности Ee на площадь S поверхности равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверхность, то соотношение (3) можно записать в виде
F = (Фе/с)∙(ρ+1).
После подстановки значений Фе и с с учетом, что ρ=1 (поверхность зеркальная), получим
F==4 нН.
Число N фотонов, падающих за время ∆t на поверхность, определяется по формуле
N=∆W/ε = Фе ∆t/ε ,
где ∆W — энергия излучения, получаемая поверхностью за время ∆t
Выразив в этой формуле энергию фотона через длину волны (ε =hc/λ), получим
N= Феλ∆t/(hc).
Подставив в этой формуле числовые значения величин, найдем
N=1019 фотонов.
Пример 11. Параллельный пучок света длиной волны λ=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление p=10 мкПа. Определить: 1) концентрацию п фотонов в пучке, 2) число n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с.
Решение.1. Концентрация п фотонов в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию ε одного фотона:
n=w/ε (1)
Из формулы p=w(1+ρ), определяющей давление света, где ρ-коэффициент отражения, найдем
w = p/(ρ+1). (2)
Подставив выражение для w из уравнения (2) в формулу (1), получим
n = ρ/[(ρ+1)∙ε]. (3)
Энергия фотона зависит от частоты υ, а следовательно, и от длины световой волны λ:
ε = hυ = hc/λ (4)
Подставив выражение для энергии фотона в формулу (3), определим искомую концентрацию фотонов:
n = (ρλ)/[(ρ+1)∙ε]. (5)
Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю.
Подставив числовые значения в формулу (5), получим
n=2,52∙1013 м-3.
2. Число n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с, найдем из соотношения n1=N/(St), где N — число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N=ncSt, следовательно,
n1=(ncSt)/(St)=nc
Подставив сюда значения п и с, получим
n1=7,56∙1021 м-2∙с-1.
Пример 12. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ=90°. Энергия ε' рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.
Решение. Для определения первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде
λ`-λ = 2×[(2πħ)/(mc)]×sin2(θ/2). (1)
Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) выразим длины волн λ' и λ через энергии ε' и ε соответствующих фотонов, воспользовавшись соотношением ε = 2πħc/λ; 2) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с. Тогда получим
Сократив на 2nħc, выразим из этой формулы искомую энергию:
ε = 1,85 МэВ.
Пример 13. Фотон с энергией ε =0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ=60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию ε' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.
Решение. 1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:
Выразив длины волн λ' и λ через энергии ε' и ε соответствующих фотонов, получим
(1)
Разделим обе части этого равенства на 2πħc:
Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона тc2 через ео, найдем
Подставив числовые значения величин, получим
ε'=0,43 МэВ.
2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией ε падающего фотона и энергией е' рассеянного фотона:
T = ε - ε` = 0,32 МэВ.
3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона р равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона р' и электрона отдачи mv:
p = p'+mv.
Векторная диаграмма импульсов изображена на рис.. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол φ определяет направление движения электрона отдачи.
Из треугольника OCD находим
или
Так как р=ε/с и р'=е'/с, то
(2)
Рис. 7
Преобразуем формулу (2) так, чтобы угол φ выражался непосредственно через величины ε и θ, заданные в условии задачи. Отсюда
(3)
Заменим в формуле (2) соотношение ε/ε' по формуле (3):
Учитывая, что sin θ=2sin(θ/2)cos(θ/2) и 1—cosθ=2sin2(θ/2), после соответствующих преобразований получим
(4)
После вычисления по формуле (4) найдем tg φ =0,701, откуда φ=35°.
Пример 14. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (Боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.
Решение. Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством тvr=пħ. Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n=1 и указанное выше равенство примет вид
mvr=ħ. (1)
Для определения двух неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона можем записать
(е и m — заряд и масса электрона), или
(2)
Совместное решение равенств (1) и (2) относительно r дает
r = 4πε0 ħ/(me2).
Подставив сюда значения ħ, е, т и произведя вычисления, найдем боровский радиус:
r = а = 5,29∙10-11 м.
Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой орбите:
υ= ħ /(mr).
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
υ = 2,18 Мм/с.
Пример 15. Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.
Решение. Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую,
Рис.8 |
где Ei — энергия ионизации атома водорода; m=1,2,3,...—номер орбиты, на которую переходит электрон (рис. 8); n=m+1;
m+2;...— номер орбиты, с которой переходит электрон. Для серии Пашена m=3; для второй линии этой серии n= 3+2=5.
Подставив числовые значения, найдем энергию фотона:
ε = 0,97 эВ.
Пример 16. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U1= = 51 кВ; 2) U2= 510 кВ.
Решение. Длина волны де Бройля l частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой
l = 2pħ/p (1)
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для нерелятивистского (когда T<<E0) и для релятивистского (когда T » E0) случаев соответственно выражается формулами:
; (2)
(3)
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответственно в нерелятивистском и релятивистском случаях:
; (4)
(5)
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
T = |e|U.
В первом случае T1 = |e|(U1 = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 = m0c2 = 0,51 МэВ. Следовательно, можно применить формулу (4).
Для упрощения расчетов заметим, что T1 = 10-4 m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
Учтя, что есть комптоновская длина волны lC, получим .
Так как lC = 2,43×10-12 м, то
Во втором случае кинетическая энергия Т2= ½е½ U2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5).
Учтя, что Т2 =0,51 МэВ=mc2, по формуле (5) найдем
Подставив значение lс в последнюю формулу и произведя вычисления, получим
l2=1,4 пм.
Пример 17. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L = 10 см от щели.
Решение.Согласно гипотезе де Бройля, длина волны l, соответствующая частице массой т, движущейся со скоростью, выражается формулой
l = 2pħ/(mu). (1)
Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии
a sin j = (2k+1)(l/2), (2)
где k = 0, 1, 2, 3, . . .—порядковый номер максимумов; a — ширина щели.
Для максимумов первого порядка (k=1) угол j заведомо мал, поэтому sin j = j, и, следовательно, формула (2) примет вид
aj = 3/2l, (3)
а искомая величина х, как следует из рис. 9,
x = 2L tg j = 2Lj, (4)
так как tg j = j.
Получим
Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (1) дает
.
После вычисления по формуле (5) получим
x = 6 · 10-41=60 мкм.