Атом водорода в теории Бора
Применение постулатов Бора и уравнения второго закона Ньютона к атому водорода позволяет получить значения частот излучения, которые с большой точностью соответствуют экспериментальным данным. Произведем этот расчет. Второй закон Ньютона в применении к движению электрона по круговой орбите под действием кулоновской силы имеет вид
. 6.4
Решая совместно уравнения (6.2) и (6.4), можно получить формулы для радиуса орбиты электрона , и его скорости . Радиус первой боровской орбиты равен r1 = 0,51 нм, радиусы других орбит . Как видно, радиус орбиты электрона и его скорость могут принимать только дискретный ряд значений при целом значении главного квантового числа n.
Полная энергия атома водорода равна сумме кинетической энергии электрона и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (которая отрицательна).
6.5
Подставим в формулу энергии атома радиус орбиты и скорость электрона. В результате получим, что кинетическая энергия в два раза меньше по модулю отрицательной потенциальной энергии. В итоге
. 6.6
Энергия электрона в атоме отрицательна, значит, состояние атома устойчивое. Энергия принимает дискретный, квантованный ряд значений. Энергия на основном, первом (n=1) энергетическом уровне атома водорода равна W1 = −13,6 эВ. Энергия атома на более высоких, возбужденных, уровнях будет обратно пропорциональна квадрату главного квантового числа:
. 6.7
Согласно третьему постулату Бора при переходе электрона с более высокой орбиты «m» на более низкую «n» атом излучает фотон hn = Wm − Wn. Подставив сюда формулу (6.7), получим для частот излучения
. 6.8
Эта формула совпадает с сериальной формулой Бальмера (6.1), а значение коэффициента с точностью до шести знаков совпадает с экспериментальным значением постоянной Ридберга. Серия спектральных линий атома водорода при n = 1 носит название серии Лаймана, линии этой серии находятся в ультрафиолетовом диапазоне (рис. 6.2). Серия при n = 2 носит название серии Бальмера. Линии этой серии находятся в диапазоне видимого света: при m =3 – красная, m = 4 – зеленая, m = 5 – фиолетовая линии. Это соответствует переходам электрона с 3, 4 или 5 орбит на 2-ю орбиту. Линии других серий находятся в инфракрасном диапазоне.
4. Опыт Франка–Герца
Дискретность энергетических уровней атомов была подтверждена в опытах Франка – Герца. В этих опытах электроны в электронной лампе, наполненной парами ртути под низким давлением, разогнавшись в электрическом поле, испытывали соударение с атомами.
Возможно два типа соударений. Неупругое соударение происходит, если энергия электрона равна, или достаточно близка, к разности энергий одного из возбужденных состояний и основным состоянием атома. В этом случае атом может принять энергию электрона, происходит резонансное поглощение энергии, и атом переходит в возбужденное состояние. А электрон теряет свою энергию и скорость. Обратный переход возбужденного атома в основное состояние совершается сбросом энергии в виде излучения. Если энергия электрона больше или меньше энергии резонансного поглощения, то соударение электрона с атомом происходит упруго. Без потери энергии электрон отлетает от атома.
Потенциалы электрического ускоряющего поля при резонансном поглощении энергии электронов называются резонансными потенциалами. В электронной лампе, откачанной до глубокого вакуума, с небольшим количеством паров ртути, были расположены электроды (рис. 6.3). Источником электронов являлся накаливаемый катод. В регулируемом электрическом поле между катодом и первой сеткой электроны разгонялись. В пространстве между сетками происходили соударения электронов с атомами ртути. Между второй сеткой и анодом было создано постоянное сравнительно слабое тормозящее поле. Если происходило неупругое взаимодействие электронов с атомами, то они теряли кинетическую энергию и не могли попасть на анод через тормозящее поле. Сила тока между анодом и катодом резко падала. Если ускоряющее напряжение между катодом и сеткой отличалось от резонансного потенциала, то электроны преодолевали тормозящее поле и попадали на анод. Сила тока возрастала. Сила тока могла падать при ускоряющем напряжении, превышающем потенциал возбуждения в два, три и более раз, так как могло происходить два, три и более соударений.
Характерная вольтамперная характеристика лампы имеет вид кривой с несколькими максимумами и минимумами силы тока (рис.6.4). Она подтверждает существование дискретных уровней энергии.
Выводы
Теория Бора явилась первым шагом в создании современной квантовой механики, введя понятия о квантовании энергии, импульса, момента импульса атомов. Но это была противоречивая теория, поскольку применяла законы классической механики совместно с квантовыми представлениями. Уже для следующего за водородом атома гелия теория не смогла объяснить спектр излучения.
Контрольные вопросы
1. Атомы водорода находятся в возбужденном состоянии на третьем энергетическом уровне. Сколько спектральных линий имеется в спектре излучения атомов?
2. Какую энергию должен иметь электрон, чтобы ударом ионизовать атом водорода?
3. Определите минимальную энергию электрона, достаточную для возбуждения ударом атома водорода.
4. Чему равна максимальная полная энергия электрона в атоме водорода? Чему равна при этом кинетическая и потенциальная энергия электрона?
5. Определите энергию самого длинноволнового (красного) фотона в серии Бальмера.
6. Чему равны кинетическая и потенциальная и полная энергии атома водорода в основном состоянии?
7. Почему вольтамперная характеристика электронной лампы в опыте Франка–Герца имеет несколько пиков и минимумов?
8. На каких участках вольтамперной характеристики электронной лампы в опыте Франка–Герца происходит упругое, на каких неупругое соударение электронов с атомами газа?
9. Почему если возбуждать атомы водорода в основном состоянии электронным ударом, то атомы водорода излучают только линии серии Лаймана?
10. Устойчиво ли было состояние атомов, если бы их полная энергия была бы не отрицательная, а положительная?
11. Если атом излучает фотон при переходе электрона между соседними орбитами, то чему равен момент импульса фотона, согласно закону сохранения момента импульса?
12. Если атом при электронном ударе перешел на более высокий энергетический уровень, то его момент импульса изменился. Не противоречит ли это закону сохранения момента импульса?
7. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ
Гипотеза де Бройля
Из курса Оптики известно, что свет – это поток фотонов, которые одновременно обладают как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Например, если свет очень малой интенсивности, так что фотоны летят по одиночке, пропускать через небольшое отверстие, то все равно на фотопластинке со временем из отдельных засвеченных точек создается система дифракционных колец. Здесь одновременно проявляются волновые свойства фотонов, поскольку это электромагнитные волны, и корпускулярные свойства фотонов.
В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что сочетание волновых и корпускулярных свойств присуще не только фотонам, но также микрочастицам вещества, таким как электроны, протоны, атомы и даже молекулам. Причем соотношение между волновыми и корпускулярными свойствами точно такое же, как и для фотонов. Длина волны де Бройля равна отношению постоянной Планка к импульсу частицы, а частота волнового процесса равна отношению энергии частицы к постоянной Планка:
, 7.1
где импульс нерелятивистских частиц равен произведению массы частицы на скорость .
Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена. В опытах Дэвиссона и Джермера исследовалось отражение электронов от монокристалла никеля. Отраженные электроны улавливались цилиндром Фарадея, расположенного под некоторым углом. Сила тока отраженного пучка регистрировалась гальванометром. Оказалось, что зависимость интенсивности отраженного пучка электронов от ускоряющего напряжения электронной пушки имеет несколько максимумов, разделенными минимумами. Это было похоже на отражение рентгеновских лучей от монокристаллов, которое объясняется явлением дифракции рентгеновских волн. То есть пучок электронов обладает волновыми свойствами.
По закону сохранения энергии скорость электронов зависит от ускоряющего напряжения . Длина волны по формуле де Бройля будет равна
. (2)
Оказалось, что рассчитанные значения длин волн электронов совпадают со значениями длин волн рентгеновского излучения, рассчитанными по формуле Вульфа–Брэгга .
Волновые свойства электронов были обнаружены при прохождении электронов сквозь тонкие пленки поликристаллической структуры Тартаковским и Томсоном. На маленьких кристалликах, происходит дифракция. Так как кристаллики ориентированы хаотично, то дифракционная картина имеет вид колец, как и рентгенограмма.
Вопрос, что обладает волновыми свойствами: пучок электронов или отдельный электрон был решен в опытах Фабриканта на электронном микроскопе. Электроны летели настолько редко, что дифрагировали на выходном отверстии микроскопа поодиночке, и при длительной экспозиции на фотопластинке из отдельных точек возникала система дифракционных колец.
Понятие о волнах де Бройля в развитии современной науки оказалось поворотным пунктом. Исчезла необходимость в постулатах Бора. Например, представим электрон в атоме как стоячую волну де Бройля и пусть как для стоячей волны в струне, на длине орбиты укладывается целое число волн де Бройля: . Подставим сюда формулу для длины волны де Бройля и получим постулат Бора: момент импульса электрона кратен постоянной Планка .
.