Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различ­ной формы изучалось французскими уче­ными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791 —1841). Результаты этих опытов бы­ли обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласадля проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-векто­ра г. Направление dB перпендикулярно dlи r, т. е. перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется вы­ражением

где а — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции:магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в об­щем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принци­пом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рас­смотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока —тока, текущего по тонкому прямому про

воду бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что маг­нитная индукция, создаваемая одним эле­ментом проводника, равна

Так как угол а для всех элементов прямо­го тока изменяется в пределах от 0 до я, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током(рис. 166). Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложе­ние векторов dB можно заменить сложени­ем их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех эле­ментов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током