Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Линии связи

Линии связи относятся к электрическим цепям, в которых электромагнитное поле и потери распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью (рис.1).

Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны . Если , т.е. при , и . Для , т.е. уже при к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной.

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины со структурой, показанной на рис. 1.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

; (1)

. (2)

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя на , на основании (1) и (2) получаем

;	(3)
,	(4)

где и - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение из (4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

,

(5)

где - постоянная распространения; - коэффициент затухания; - коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (3) можно записать

,

(6)

где - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление и постоянную распространения называютвторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Определяя и , на основании (5) запишем

.

(7)

Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени и . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

.

(8)

Продифференцировав (8) по времени, получим

.

(9)

Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

(10)

где в соответствии с (5) и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провод а к нижнему.

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

,

(11)

где и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

;

.

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным

;

.

(12)

На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

.

Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:

Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.

У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным,а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.

Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линий длиной в данном случае

,

откуда КПД линии

и затухание .

Кабельные линии связи

В подавляющем большинстве компьютерных сетей (особенно локальных) используются проводные или кабельные каналы связи, хотя существуют и беспроводные сети. Информация в локальных сетях чаще всего передается в последовательном коде, то есть бит за битом. Понятно, что такая передача медленнее и сложнее, чем при использовании параллельного кода. Однако надо учитывать то, что при более быстрой параллельной передаче увеличивается количество соединительных кабелей в число раз, равное количеству разрядов параллельного кода (например, в 8 раз при 8-разрядном коде). При значительных расстояниях между абонентами сети стоимость кабеля может быть вполне сравнима со стоимостью компьютеров и даже превосходить ее. К тому же проложить один кабель (реже два разнонаправленных) гораздо проще, чем 8,16 или 32. Значительно дешевле обойдется также поиск повреждений и ремонт кабеля. К тому же передача на большие расстояния при любом типе кабеля требует сложной передающей и приемной аппаратуры: для этого надо формировать мощный сигнал на передающем конце и детектировать слабый сигнал на приемном конце. При последовательной передаче для этого требуется всего один передатчик и один приемник. При параллельной же передаче количество передатчиков и приемников возрастает пропорционально разрядности используемого параллельного кода. Поэтому даже при разработке сети незначительной длины (порядка десятка метров) чаще всего все равно выбирают последовательную передачу.

К тому же при параллельной передаче чрезвычайно важно, чтобы длины отдельных кабелей были точно равны друг другу, иначе в результате прохождения по кабелям разной длины между сигналами на приемном конце образуется временной сдвиг, который может привести к сбоям в работе или даже к полной неработоспособности сети. Например, при скорости передачи 100 Мбит/с и длительности бита 10 нс этот временной сдвиг не должен превышать 5-10 нс. Такую величину сдвига дает разница в длинах кабелей в 1-2 метра. При длине кабеля 1000 метров это составляет 0,1-0,2%.

Промышленностью выпускается огромное количество типов кабелей, например, крупнейшая кабельная фирма Belden предлагает более 2000 их наименований. Все выпускаемые кабели можно разделить на три большие группы:

· кабели на основе витых пар проводов (twisted pair), которые делятся на экранированные (shielded twisted pair, STP) и неэкранированные (unshielded twisted pair, UTP);

· коаксиальные кабели (coaxial cable);

· оптоволоконные кабели (fiber optic).

Каждый тип кабеля имеет свои преимущества и недостатки, так что при выборе типа кабеля надо учитывать как особенности решаемой задачи, так и особенности конкретной сети, в том числе и используемую топологию. В настоящее время действует стандарт на кабели EIA/TIA 568 (Commercial Building Telecommunications Cabling Standard), принятый в 1995 году и заменивший все действовавшие ранее фирменные стандарты.

Витые пары проводов используются в самых дешевых и на сегодняшний день, пожалуй, самых популярных кабелях. Кабель на основе витых пар представляет собой несколько пар скрученных изолированных медных проводов в единой диэлектрической (пластиковой) оболочке. Он довольно гибкий и удобный для прокладки.

Неэкранированные витые пары характеризуются слабой защищенностью от внешних электромагнитных помех, а также слабой защищенностью от подслушивания с целью, например, промышленного шпионажа. Перехват передаваемой информации возможен как с помощью контактного метода (посредством двух иголочек, воткнутых в кабель), так и с помощью бесконтактного метода, сводящегося к радиоперехвату излучаемых кабелем электромагнитных полей. Для устранения этих недостатков применяется экранирование.

В случае экранированной витой пары STP каждая из витых пар помещается в металлическую оплетку-экран для уменьшения излучений кабеля, защиты от внешних электромагнитных помех и снижения взаимного влияния пар проводов друг на друга (crosstalk - перекрестные наводки). Естественно, экранированная витая пара гораздо дороже, чем неэкранированная, а при ее использовании необходимо применять и специальные экранированные разъемы, поэтому встречается она значительно реже, чем неэкранированная витая пара.

Основные достоинства неэкранированных витых пар - простота монтажа разъемов на концах кабеля, а также простота ремонта любых повреждений по сравнению с другими типами кабеля. Все остальные характеристики у них хуже, чем у других кабелей. Например, при заданной скорости передачи затухание сигнала (уменьшение его уровня по мере прохождения по кабелю) у них больше, чем у коаксиальных кабелей. Если учесть еще низкую помехозащищенность, то становится понятным, почему линии связи на основе витых пар, как правило, довольно короткие (обычно в пределах 100 метров). В настоящее время витая пара используется для передачи информации на скоростях до 100 Мбит/с и ведутся работы по повышению скорости передачи до 1000 Мбит/с.

Согласно стандарту EIA/TIA 568, существуют пять категорий кабелей на основе неэкранированной витой пары (UTP):

· Кабель категории 1 - это обычный телефонный кабель (пары проводов не витые), по которому можно передавать только речь, но не данные. Данный тип кабеля имеет большой разброс параметров (волнового сопротивления, полосы пропускания, перекрестных наводок).

· Кабель категории 2 - это кабель из витых пар для передачи данных в полосе частот до 1 МГц. Кабель не тестируется на уровень перекрестных наводок. В настоящее время он используется очень редко. Стандарт EIA/TIA 568 не различает кабели категорий 1 и 2.

· Кабель категории 3 — это кабель для передачи данных в полосе часто до 16 МГц, состоящий из витых пар с девятью витками проводов на метр длины. Кабель тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Это самый простой тип кабелей, рекомендованный стандартом для локальных сетей. Сейчас он имеет наибольшее распространение.

· Кабель категории 4 - это кабель, передающий данные в полосе частот до 20 МГц. Используется редко, так как не слишком заметно отличается от категории 3. Стандартом рекомендуется вместо кабеля категории 3 переходить сразу на кабель категории 5. Кабель категории 4 тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Кабель был разработан для работы в сетях по стандарту IEEE 802.5.

· Кабель категории 5 - самый совершенный кабель в настоящее время, рассчитанный на передачу данных в полосе частот до 100 МГц. Состоит из витых пар, имеющих не менее 27 витков на метр длины (8 витков на фут). Кабель тестируется на все параметры и имеет волновое сопротивление 100 Ом. Рекомендуется применять его в современных высокоскоростных сетях типа Fast Ethernet и TPFDDI. Кабель категории 5 примерно на 30-50% дороже, чем кабель категории 3.

· Кабель категории 6 - перспективный тип кабеля для передачи данных в полосе частот до 200 МГц.

· Кабель категории 7 - перспективный тип кабеля для передачи данных в полосе частот до 600 МГц.

Существует два способа передачи сигналов по витым парам: несбалансированная передача (несимметричные цепи) и балансная передача (симметричные цепи).

Все виды ЛВС используют балансную передачу сигналов по витым парам. Несимметричные цепи применяются для построения систем пожарных и охранных сигнализаций и для передачи постоянных питающих напряжений, например, от УАТС к телефонам на рабочих местах.

При несбалансированной передаче используется несимметричная цепь, то есть один из проводников заземляется с одной или с двух сторон. Сигналы передаются по остальным проводникам и изменяются относительно земли (рис.3). По своей природе несимметричные цепи очень чувствительны к внешнему электромагнитному излучению (ЭМИ). На рисунке видно, что на входе приемника на сигнальном проводнике присутствует сумма напряжений сигнала U_С и наводок U_H от внешнего ЭМИ. С другой стороны, сигнальный провод является источником излучения электромагнитной энергии во внешнее пространство. Это приводит к значительному затуханию сигнала в процессе его распространения. Некоторое улучшение характеристик несимметричных цепей достигается в случае использования общего заземленного экрана, однако такое решение существенно повышает стоимость и трудоемкость монтажа кабельной системы.

Еще одним недостатком несимметричных цепей является отсутствие гальванической развязки передатчика и приемника. При неисправностях в системе заземления или в защитной изоляции сетевого оборудования высокое напряжение от систем электропитания может попасть как на заземляющий, так и на сигнальный провод, что часто сопровождается выходом из строя приемопередающих устройств на одном или обоих концах линии связи.

Достоинством несимметричных цепей является то, что для передачи N сигналов требуется только N+1 проводников (N сигнальных плюс один общий заземляющий).

Несимметричные цепи применяют для передачи низкочастотных сигналов на короткие расстояния.

Рис.3

Схема симметричной цепи, в которой используется балансный принцип передачи информации, изображена на рис. 4.

Рис.4.

В симметричных цепях приемник и передатчик гальванически развязаны друг от друга согласующими трансформаторами. Во вторичные обмотки передается только разность потенциалов на первичной обмотке. Из рисунка видно, что токи наводки в полностью симметричной цепи приводят к противофазному изменению напряжения U_Н на первичной обмотке трансформатора приемника, так что результирующий мешающий сигнал не передается во вторичную обмотку. Поэтому, в отличие от несимметричных, симметричные цепи значительно более устойчивы к внешним мешающим влияниям.

Соответственно ЭМИ проводников имеет равные по величине и противоположные по направлениям векторы электромагнитного поля ввиду противоположного направления токов в них. Поэтому в идеальной симметричной цепи суммарные векторы напряженности излучаемого электромагнитной поля равны нулю и излучаемое ЭМИ отсутствует.

Симметричные цепи позволяют передавать значительно более широкополосные сигналы, по сравнению с несимметричными.

Основными недостатками симметричных цепей с балансной передачей являются, во-первых, необходимость использования для приема и передачи N сигналов 2xN проводников (на каждый сигнал 2 провода) и, во-вторых, невозможность передачи постоянной составляющей сигнала.

Электрические свойства витой пары, как и любой другой направляющей системы электромагнитных колебаний, полностью характеризуются ее первичными параметрами: сопротивлением R и индуктивностью L проводников, а также емкостью С и проводимостью G изоляции.

Параметры R и G обусловливают потери энергии: первый - тепловые потери в проводе и экране (при его наличии), второй - потери в изоляции. Параметры L и С определяют реактивность витой пары как направляющей системы и, следовательно, ее частотные свойства.

Конкретные значения первичных параметров зависят от конструкции кабеля и, в частности, от геометрии отдельных его компонентов, их взаимного расположения, материала проводников, изоляции и внешних покровов и т.д.

Вторичные параметры витой пары рассчитываются на основе первичных или, что значительно чаще, определяются экспериментально.

Вторичные параметры нормируются в технических условиях на витую пару и позволяют простыми средствами выполнить инженерный расчет линий связи, построенных на основе симметричного кабеля, и оценить их пригодность для передачи сигналов тех или иных приложений.

Волновое сопротивление, или импеданс, - это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль любой однородной (то есть без отражений) направляющей системы, в том числе и витой пары.

Оно свойственно данному типу кабеля и зависит только от его первичных параметров и частоты. Волновое сопротивление связано с первичными параметрами следующим простым соотношением:

Z=√((R+jωL)/(G+jωC))

Волновое сопротивление численно равно входному сопротивлению линии бесконечной длины, которая имеет оконечную нагрузку, равную ее собственному волновому сопротивлению. Оно измеряется в Омах и определяет количественное соотношение между электрической и магнитной составляющей электромагнитной волны.

Согласно стандарту EIA/TIA 568, полное волновое сопротивление наиболее совершенных кабелей категорий 3, 4 и 5 должно составлять 100 Ом ± 15% в частотном диапазоне от частоты 1 МГц до максимальной частоты кабеля. Здесь же отметим, что волновое сопротивление экранированной витой пары STP должно быть по стандарту равно 150 Ом ± 15%. Для согласования импедансов кабеля и оборудования в случае их несовпадения применяют согласующие трансформаторы. Встречается также экранированная витая пара с волновым сопротивлением 100 Ом, но довольно редко.

При распространении по витой паре электромагнитный сигнал постепенно теряет свою энергию. Этот эффект называется ослаблением, или затуханием. Затухание принято оценивать в децибелах как разность между уровнями сигналов на выходе передатчика и входе приемника. Один децибел соответствует изменению мощности в 1,26 раза или напряжения в 1,12 раза.

Принято различать собственное и рабочее затухание кабеля. Под собственным затуханием кабеля понимается затухание при работе в идеальных условиях. Экспериментально собственное затухание кабеля можно определить как разность уровней входного и выходного сигналов в том случае, если сопротивление источника сигнала и нагрузки равны между собой и волновому сопротивлению кабеля. В процессе реальной эксплуатации это условие выполняется не во всех случаях, что обычно сопровождается увеличением затухания. Такое затухание называется рабочим.

Из изложенного следует важный практический вывод о том, что для минимизации рабочего затухания и его приближения к собственному сопротивление источника сигнала и нагрузка должны быть равны волновому сопротивлению, то есть, должна быть обеспечена согласованная нагрузка как источника сигнала, так и самого кабеля.

Затухание связано с длиной витой пары линейной зависимостью на всех частотах.

Для упрощения выполнения инженерных расчетов удобно пользоваться параметром коэффициента затухания или погонного затухания α, который численно равен затуханию кабеля фиксированной длины (применительно к кабелю типа витой пары это обычно 100 м).

Величины коэффициента затухания α, длины L и затухания А связаны между собой следующим простым соотношением:

А |дБ| = α |дБ/100 м| х L |м|/100

В таблице 1 приведены предельные значения величины затухания для кабелей категорий 3, 4 и 5 для расстояния 1000 футов (305 метров) при нормальной температуре окружающей среды 20°С.

Табл. 2.1. Максимальное затухание в кабелях

Частота, МГц	Максимальное затухание, дБ
	Категория 3	Категория 4	Категория 5
0,064	2,8	2,3	2,2
0,256	4,0	3,4	3,2
0,512	5,6	4,6	4,5
0,772	6,8	5,7	5,5
1,0	7,8	6,5	6,3
4,0
8,0
10,0
16,0
20,0	-
25,0	-	-
31,25	-	-
62,5	-	-
	-	-

При передаче сигнала часть его энергии вследствие неидеальности балансировки витой пары переходит в электромагнитное излучение, которое вызывает наведенные токи в соседних парах. Этот эффект называется переходными наводками. Наводки, накладываясь на полезные сигналы, передаваемые по соседним парам, могут приводить к ошибкам приема и в конечном итоге снижают качество связи.

Разность между уровнями передаваемого сигнала и создаваемой им помехи на соседней паре называется переходным затуханием. В зависимости от места и метода измерения этого параметра различают несколько видов переходного затухания. На рис.5 через I_i обозначены токи наводок, создаваемые различными участками влияющей витой пары во влияемой.

Рис.5.

Если источник сигнала и точка измерения находятся на одном конце, то говорят о переходном затухании на ближнем конце, если на разных - то о переходном затухании на дальнем конце. Первое из них традиционно имеет заимствованное из англоязычной технической литературы обозначение NEXT (Near End Crosstalk), а второе - FEXT (Far End Crosstalk). Чем выше значение NEXT и FEXT, тем меньший уровень имеет наводка в соседних парах, и соответственно тем более качественным является кабель.

В таблице 2 представлены значения допустимой перекрестной наводки на ближнем конце для кабелей категорий 3, 4 и 5 на тачных частотах сигнала.

Табл. 2.2. Допустимые уровни перекрестных наводок

Частота, МГц	Перекрестная наводка на ближнем конце, дБ
Категория 3	Категория 4	Категория 5
0,150	-54	-68	-74
0,772	-43	-58	-64
1,0	-41	-56	-62
4,0	-32	-47	-53
8,0	-28	-42	-48
10,0	-26	-41	-47
16,0	-23	-38	-44
20,0	-	-36	-42
25,0	-	-	-41
31,25	-	-	-40
32,5	-	-	-35
100,0	-	—	-32

Стандарт определяет также максимально допустимую величину рабочей емкости каждой из витых пар кабелей категории 4 и 5. Она должна составлять не более 17 нФ на 305 метров (1000 футов) при частоте сигнала 1 кГц и температуре окружающей среды 20°С.

Для присоединения витых пар используются разъемы (коннекторы) типа 5, похожие на всем известные разъемы, используемые в телефонах (RJ-11), но несколько большие по размеру (поэтому они не входят в телефонную розетку). Разъемы RJ-45 имеют восемь контактов вместо четырех в случае RJ-11. Присоединяются разъемы к кабелю с помощью специальных обжимных инструментов. При этом золоченые игольчатые контакты разъема прокалывают изоляцию каждого провода, входят между его жилами и обеспечивают надежное и качественное соединение. Надо учитывать, что при установке разъемов стандартом допускается расплетение витой пары кабеля на длину не более одного сантиметра.

Чаще всего витые пары используются для передачи данных в одном направлении, то есть в топологиях типа «звезда» или «кольцо». Топология «шина» обычно ориентируется на коаксиальный кабель. Поэтому внешние терминаторы, согласующие неподключенные концы кабеля, для витых пар практически никогда не применяются.

Кабели выпускаются с двумя типами внешних оболочек:

· кабель в поливинилхлоридной (ПВХ, PVC) оболочке дешевле и предназначен для работы кабеля в сравнительно комфортных условиях эксплуатации;

· кабель в тефлоновой оболочке дороже и предназначен для более жестких условий эксплуатации.

Кабель в ПВХ-оболочке называется еще non-plenum, а кабель в тефлоновой оболочке - plenum. Термин plenum обозначает здесь не собрание руководства какой-то партии, а пространство под фальшполом и над подвесным потолком, где очень удобно размещать кабели сети. Для прокладки в этих скрытых от глаз пространствах как раз удобнее кабель в тефлоновой оболочке, который, в частности, горит гораздо хуже, чем ПВХ-кабель, и не выделяет при горении так много ядовитых газов.

Еще один важный параметр любого кабеля, который жестко не определяется стандартом, но может существенно повлиять на работоспособность сети, - это скорость распространения сигнала в кабеле, то есть задержка распространения сигнала в кабеле в расчете на единицу длины.

Производители кабелей иногда указывают величину задержки на метр длины, а иногда - скорость распространения сигнала относительно скорости света (или NVP - Nominal Velocity of Propagation, как ее часто называют в документации). Связаны эти две величины простой формулой:

t₃=l/(3 * 10¹⁰ * NVP),

где t₃ - величина задержки на метр длины кабеля в наносекундах. Например, если NVP=0,65 (65% от скорости света), то задержка t_з будет равна 5,13 нс/м. Типичная величина задержки большинства современных кабелей составляет около 5 нс/м.

Табл. 3. Временные характеристики некоторых кабелей