Работа газа при изменении его объема

Для рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, на­ходящийся под поршнем в цилиндриче­ском сосуде (рис. 78). Если газ, расширя­ясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то производит над ним работу

dA=Fdl=pSdl=pdV,

где S — площадь поршня, Sdl=dV— из­менение объема системы. Таким образом,

dA=pdV. (52.1)

Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объема от V1до V2, найдем

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

интегрированием формулы (52.1):

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (52.2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и га­зообразных тел.

Произведенную при том или ином про­цессе работу можно изобразить графиче­ски с помощью кривой в координатах р, V. Например, изменение давления газа при его расширении изобразится кривой на рис. 79. При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью полоски с основанием dV на рисунке. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V1до объема V2, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p = f(V) и прямыми V1 и V2.

Графически можно изображать только равновесные процессы— процессы, состо­ящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что измене­ние термодинамических параметров за ко­нечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы неравновес­ны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее процесс протекает, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать равновесными.

Теплоемкость

Удельная теплоемкость веществаве­личина, равная количеству теплоты, не­обходимому для нагревания 1 кг вещест­ва на 1 К:

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг•К)).

Молярная теплоемкость—величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К:

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

где v = m/M — количество вещества, вы­ражающее число молей.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль•К)).

Удельная теплоемкость с связана с мо­лярной Сm соотношением

Ст = сМ, (53.2)

где М — молярная масса вещества.

Различают теплоемкости при постоян­ном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается по­стоянным.

Запишем выражение первого начала термодинамики (51.2) для 1 моля газа с учетом формул (52.1) и (53.1):

CmdT = dUm + pdVm. (53.3)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна ну­лю (см. (52.1)) и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

т. е. молярная теплоемкость газа при по­стоянном объеме Сv равна изменению внутренней энергии 1 моля газа при повы­шении его температуры на 1 К. Согласно формуле (50.1),

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

тогда

Cv = iR/2. (53.5)

Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3) можно за­писать в виде

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

Учитывая, что dUm/dT не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а опреде­ляется лишь температурой Т) и всегда равна Сv (см. (53.4)); продифферен­цировав уравнение Клапейрона — Мен­делеева pVm=RT (42.4) по T(p=const), получим

Cp = Cv + R. (53.6)

Выражение (53.6) называется уравнением Майера;оно показывает, что Ср всегда больше Сv на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расшире­ния газа, так как постоянство давле­ния обеспечивается увеличением объема газа.

Использовав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение Ср к Cv:

g=Cp/Cv=(i+2)/i. (53.8)

Из формул (53.5) и (53.7) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не за­висят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории спра­ведливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двух­атомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.

Работа газа при изменении его объема - student2.ru

По закону равномерного распределе­ния энергии по степеням свободы (см. § 50), для комнатных температур Cv = 7/2R. Из качественной эксперименталь­ной зависимости молярной теплоемкости Сv водорода (рис. 80) следует, что Cv за­висит от температуры: при низкой темпера­туре (»50 К) Cv=3/2R, при комнатной — Cv=5/2R (вместо расчетных 7/2R!) и очень высокой — Сv=7/2/R. Это можно объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только посту­пательное движение молекул, при ком­натных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам дви­жения добавляются еще колебания моле­кул.

Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колеба­ний молекул (возможны не любые враща­тельные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движе­ния недостаточна, например, для возбуж­дения колебаний, то эти колебания не вно­сят своего вклада в теплоемкость (соот­ветствующая степень свободы «заморажи­вается» — к ней неприменим закон равно­распределения энергии). Этим объясняет­ся, что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при комнатной темпе­ратуре равна 5/2 R вместо 7/2 R. Аналогич­но можно объяснить уменьшение тепло­емкости при низкой температуре («замо­раживаются» вращательные степени сво-

боды) и увеличение при высокой («воз­буждаются» колебательные степени сво­боды).

Наши рекомендации