Некоторые геометрические приложения определенного интеграла

Формулы площадей некоторых плоских фигур

, (2.1)

где -- площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком на оси ОХ и прямыми .

, (2.2)

где -- площадь фигуры, заключенной между графиками функций и , , прямыми .

, (2.3)

где -- площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями непрерывны на , функция монотонна на .

, (2.4)

где -- площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением -- непрерывна на ), и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и .

Пример 2.7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой и осью ОХ.

Прежде всего следует начертить эскиз данной плоской фигуры.

Часть фигуры находится над осью ОХ, а

часть—под осью ОХ. Следовательно, учитывая формулу (2.1), находим искомую площадь:

.

Пример 2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

В данном случае заштрихованная фигура

ограничена двумя линиями. Следователь

но, для вычисления площади этой фигуры

надо применить формулу (2.2). Для этого

найдем точки пересечения параболы и

прямой. Решая систему ,

получим . Тогда, согласно формуле (2.2), имеем:

.

Пример 2.9. Вычислить площадь эллипса .

Ввиду симметрии кривой относительно осей координат достаточно вычислить площадь части эллипса, находящегося в первой четверти. Поэтому находим

.

Пример 2.10. Вычислить площадь фигуры ограниченной лемнискатой

.

Предварительно остановимся на описании формы кривой. При полярный радиус кривой , следовательно, кривая проходит через полюс. Из уравнения кривой видно, что принимает действительные значения, когда , то есть когда угол удовлетворяет неравенствам . Откуда , . Заметим, что когда , то полярный радиус описывает часть кривой, расположенной в первой и четвертой четвертях, а при

описывает часть кривой, расположенной во второй и третьей четвертях. Если к тому же учесть, что период равен , то при замене на полярный радиус не изменяется. Таким образом, эта кривая расположена в двух вертикальных углах между прямыми, проведенными под углами и к полярной оси, и пересекает себя сама в полюсе О. Этих соображений уже достаточно для того, чтобы построить всю кривую.

Учитывая симметрию кривой относительно полюса и полярной оси, мы можем ограничиться вычислением площади фигуры, находящейся в первой четверти

. Следовательно, вся площадь фигуры, согласно формуле (2.4) будет равна:

.

Пример 2.11. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

Так как кривая симметрична относительно полярной оси, в силу четности , то достаточно вычислить площадь верхней половины . Тогда по формуле (2.4) находим:

.

Упражнения

2.2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1). 7).

2). 8).

3). 9).

4). 10).

5). 11).

6). 12).

13). Осью ОХ и одной аркой циклоиды

14). Астроидой

15). 16).

17). .

Формулы длин плоских кривых

, (2.5)

где -- длина дуги кривой, заданной уравнением (функция непрерывна на вместе со своей производной).

(2.6)

где -- длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (функции и имеют непрерывные производные на , ).

(2.7)

где -- длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением (функция имеет непрерывную производную на ).

Пример 2.12. Найти длину полукубической параболы , отсеченной прямой .

Данная кривая симметрична относительно оси ОХ. Мы вычислим длину дуги одной ветви кривой например, верхней) и результат удвоим. Из уравнения кривой . Следовательно, по формуле (2.5) получим:

.

Пример 2.13. Найти длину дуги одной арки циклоиды .

Циклоида --- плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса , катящейся без скольжения по оси ОХ из начала координат. Из уравнения циклоиды находим .

Когда пробегает отрезок , параметр пробегает отрезок . Следовательно, по формуле (2.6) имеем:

.

Пример 2.14. Найти длину дуги кардиоиды (см. рис. в примере 2.11).

Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то для полярный радиус описывает половину кривой. Тогда, если учесть, что , формула (2.7) дает:

.

Упражнения

Найти длину дуги кривой.

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8). Астроиды

9).

10). Кардиоиды .

Формулы объемов тел вращения

(2.8)

где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

(2.9)

где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Пример 2.14. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Изобразим тело вращения. По формуле (2.8)

.

Пример 2.15. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси ОУ.

Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и результат удвоить. По формуле (2.9) имеем

Упражнения

2.3. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

1). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .

2). вокруг оси ОХ.

3). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

4). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

5). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

6). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.

7). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .

Эскизы графиков некоторых кривых ( для справок).

3 Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда она непрерывна на любом промежутке и существует .

Определение 3.1. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом первого рода.

В противном случае говорят, что несобственный интеграл первого рода расходится.

Аналогично, ; , где -- любое число.

Пример 3.1. Исследовать сходимость .

По определению имеем

,

то есть несобственный интеграл первого рода сходится и равен .

Пример 3.2. Исследовать сходимость .

1) Если , то 2) Если , то .

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке и не ограничена слева от точки (ее называют особой точкой). Очевидно, что функция непрерывна на любом промежутке , заключенном в .

Определение 3.2. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом второго рода.

В противном случае говорят, что несобственный интеграл второго рода расходится.

Аналогично, если -- особая точка, то, по определению, . Если внутренняя точка -- точка -- особая, то . Наконец, если и -- особые точки, то несобственный интеграл определяется как сумма: , где -- любая точка из .

Пример 3.3. Исследовать сходимость .

Точка -- особая для подынтегральной функции , она не ограничена в окрестности . На любом отрезке функция непрерывна, поэтому, по определению, имеем .

Следовательно, интеграл сходится.

Пример 3.4. Исследовать сходимость .

Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки , поэтому точка особая.

1) Пусть . Тогда, по определению,

2) Если , то .

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .