Геометрические приложения определенного интеграла

Пусть функция Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru на [а, b] численно равна определенному интегралу Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , т.е. Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Пример.Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение. Из рис. 11 видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , '

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru Рис. 11 Решая систему Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , получаем, что точка В пересечения прямой Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru и кривой Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru имеет координаты (2; 4). Тогда Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Для вычисления второго интеграла определим вид подынтегральной функции, выразив из Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru переменную у: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

Тогда получим:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

 
Окончательно Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru (ед.2 ).

Ответ: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ед2.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое определенный интеграл?

2. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла?

4. Какие вы знаете способы вычисления определенных интегралов?

5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Контрольное задание

  1. Вычислить интегралы:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , y = 0, x = 1 и x =5.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Раздел 4. Ряды

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов;

¾ необходимый и достаточные признаки сходимости рядом с положительными членами: признак сравнения, признак Даламбера;

¾ определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница;

¾ определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов;

уметь:

¾ по формуле n-го члена записывать числовой ряд;

¾ записывать формулу n-го члена числового ряда;

¾ исследовать на сходимость положительные ряды;

¾ исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ря­ды.

Основные понятия

Числовым рядом называется сумма вида

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Где числа u1, u2, u3, …. , un, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называют общим членом ряда.

Пример. Записать ряд по его заданному общему члену: 1) Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

Решение. Придавая n значения 1, 2, 3, …, имеем бесконечную последовательность чисел: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; …. , .Сложив её члены, получим ряд

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Пример.Записать ряд по его заданному общему члену: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение.

Придавая n значения 1, 2, 3, … и учитывая, что 1! = 1, Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , 3! = Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru …, получим ряд

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Задание.Записать ряд по его заданному общему члену: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Пример. Найти n-й член ряда по его данным первым членам: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение: Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечётными числами; следовательно, n-й член ряда имеет вид Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Пример. Найти n-й член ряда по его данным первым членам: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение. Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны n!. Знаки чередуются по закону(-1)n . Общий член ряда имеет вид Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Задание.Найти n-й член ряда по его данным первым членам: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Суммы:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

. . . . . . . . . . .

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S1, S2, S3,…., Sn Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда Sn стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru или Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Эта запись равносильна записи

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Если частичная сумма Sn ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела ( в частности, стремится к +х или к – бесконечность), то такой ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то значение Sn при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность rn = S - Sn называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Пример.

Найти сумму членов ряда Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Решение.

Находим частичные суммы членов ряда:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ; Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Запишем последовательность частичных сумм: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

Общий член этой последовательности есть Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Следовательно,

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Итак, ряд сходится и его сумма равна Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , образованного из членов геометрической прогрессии.

1) Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Для нахождения частичной суммы Sn воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru где a1 – первый член, an=a1qn-1 – n –ый член, q – знаменатель прогрессии.

Следовательно Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Находим сумму ряда:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной (qn->0 при n-> Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

2) Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Частичную сумму Sn найдём по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии: Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Тогда сумма ряда Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина ( Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru при Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru ). В этом случае ряд расходится.

3) q=1. Находим

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Следовательно Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Значит, в данном случае ряд расходится.

4) q = -1. Имеем.

S1 = a

S2 = a – a =0

S3 = a – a + a = a

S4 = a – a + a – a = 0

. . . . . . . . . . . . . .

Т.е. Sn=0 при n четном и Sn= a при n нечётном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru и расходится при Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru . Ряд вида Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru будем называть геометрическим рядом.

Гармонический ряд. Ряд вида

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Сумма Sn больше суммы представленной следующим образцом:

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Или

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru

Если Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , то

Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , или Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru .

Следовательно, если Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , то Геометрические приложения определенного интеграла - student2.ru , т.е. гармонический ряд расходится.

Наши рекомендации