Дифференциальные уравнения равновесияжидкости

Глава 2

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей при относительном покое, т. е. покое относительно границ емкости, и рассматривается практическое приложение этих законов. В покоящейся жидкости не проявляются силы вязкости, что позволяет решать задачи, используя модель идеальной жидкости.

Покоящаяся жидкость подвержена действию внешних массовых пропорциональных массе сил и поверхностных, действующих на свободную или граничную поверхность, сил. В результате действия этих сил внутри жидкости возникают сжимающие напряжения, называемые гидростатическим давлением (аналогично напряжению сжатия в твердых телах). При равномерном распределении силы F по поверхности площадью S гидростатическое давление выражается формулой

(2.1)

Единицей гидростатического давления является 1 Н/м². Эта единица называется паскаль (Па). Так как она очень мала, применяют кратную ей единицу мегапаскаль (МПа). При этом 1 МПа = 10⁶ Па 10 кгс/см². Размерность давления —L^-lMT^-2 = FL^-2.

Если в жидкости выделить некоторую внутреннюю площадку S и уменьшать ее, устремляя к нулю, то в пределе отношение F/S при S 0 будет определять гидростатическое давление в точке.

Это давление имеет два основных свойства:

1) гидростатическое давление действует всегда по нормали к площадке;

2) величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации площадки.

Основное уравнение гидростатики

Интегрирование уравнения (2.4) для случая, когда на жидкость действует только сила тяжести g (рис. 4), дает результат

= ,

.

Рис. 4. К выводу основного уравнения гидростатики

Постоянная интегрированияСопределяется из граничных условий: на свободной поверхности с координатой z₀ давление равно р₀, откуда

С = + ,

поэтому + = р + gz;

p = + ( —z).(2.6)

Выражение (2.6) называется основным уравнением гидростатики, в котором z₀-z=h — заглубление рассматриваемой точки жидкости под свободной поверхностью. Подставляя g = у, получим выражение для основного уравнения гидростатики в виде

p = p₀ + . (2.7)

где h —вес столба жидкости, расположенного над рассматриваемой точкой, основанием которого является единица площади (часть гидростатического давления, обусловленная весом самой жидкости).

При измерении давления за нуль отсчета может быть принята разная его величина. Если при отсчете за нуль принято давление в абсолютной пустоте, то давление называется абсолютным (р_абс)» если же за нуль принимается давление атмосферы на уровне поверхности земли (обозначим его в абсолютных величинах р_ат), то давление называется избыточным (р_изб). Следовательно,

P_изб =Р_абс– Р_ат.

Недостаток абсолютного давления до атмосферного называется вакуумом

Р_вак=Р_ат–Р_абс.

Из (2.7) и рис. 5 следует, что каждому значению избыточного давления соответствует некоторая высота данной жидкости

h₁= , (2.8)

называемаяпьезометрической. Она устанавливается в трубке, именуемой пьезометром. Если на поверхности резервуара давление р₀ равно атмосферному, уровень в пьезометре совпадает со свободной поверхностью (h₁ = h), при р₀>р_атм — выше нее, а при р₀<р_ат — ниже свободной поверхности в резервуаре.

Пьезометрическая высота h в (2.8) пропорциональна избыточному давлению, поэтому с помощью пьезометра оно может быть измерено, например, в мм вод.ст. На высоту h₁в пьезометре теоретически может подняться под действием давления р₁—р_ат любая

Рис.5. Схема пьезометра

частичка жидкости в резервуаре. Поскольку пьезометрическая высота таким образом может быть отнесена к любой точке в нем и будет для всей жидкости одинаковой, выражение

, (2.9)

определяющее высоту уровня в пьезометре, одновременно характеризует уровень потенциальной энергии или статический напор жидкости в резервуаре по отношению к плоскости сравнения 0—0. Этот напор одинаков для всего объема жидкости в резервуаре и представляет собой удельную, т. е. отнесенную к единице веса, потенциальную энергию частиц жидкости в данном резервуаре по отношению к горизонту 0—0.

Из основного уравнения гидростатики также следует, что приращение давления в некоторой точке жидкости передается по всему замкнутому объему жидкости без изменения. Действительно, если в уравнении (2.7) давление р₀ увеличить на р, то, значение р также увеличится на величину р. Это важное для практики следствие называется законом Паскаля и служит исходным принципом для создания объемных гидравлических передач.

Рассмотрим с помощью основного уравнения гидростатики плавание тел. На тело, полностью или частично погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости в объеме тела, расположенном под уровнем свободной поверхности (закон Архимеда).

Рис. 6. К расчету плавания тел

Пусть выпуклое тело погружено в жидкость (рис. 6). Проведем плоскость А по наибольшему сечению (площадью S_A) тела и выберем на ней точку (х, у), а вокруг нее элементарную площадку ds. На этой площадке построим цилиндр, от свободной поверхности до нижней границы тела. Разность сил давления на верхнюю( h₁ds)и нижнюю ( h₂ds) границы цилиндра составляет h(xy). Проинтегрировав по всей площади сечения А, получим выражение для выталкивающей силы

(2.10)

где подынтегральное выражение представляет собой объем тела, расположенный под уровнем свободной поверхности жидкости.

Глава 2

ГИДРОСТАТИКА

Гидростатическое давление

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей при относительном покое, т. е. покое относительно границ емкости, и рассматривается практическое приложение этих законов. В покоящейся жидкости не проявляются силы вязкости, что позволяет решать задачи, используя модель идеальной жидкости.

Покоящаяся жидкость подвержена действию внешних массовых пропорциональных массе сил и поверхностных, действующих на свободную или граничную поверхность, сил. В результате действия этих сил внутри жидкости возникают сжимающие напряжения, называемые гидростатическим давлением (аналогично напряжению сжатия в твердых телах). При равномерном распределении силы F по поверхности площадью S гидростатическое давление выражается формулой

(2.1)

Единицей гидростатического давления является 1 Н/м². Эта единица называется паскаль (Па). Так как она очень мала, применяют кратную ей единицу мегапаскаль (МПа). При этом 1 МПа = 10⁶ Па 10 кгс/см². Размерность давления —L^-lMT^-2 = FL^-2.

Если в жидкости выделить некоторую внутреннюю площадку S и уменьшать ее, устремляя к нулю, то в пределе отношение F/S при S 0 будет определять гидростатическое давление в точке.

Это давление имеет два основных свойства:

1) гидростатическое давление действует всегда по нормали к площадке;

2) величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации площадки.

Дифференциальные уравнения равновесияжидкости

Уравнения равновесия жидкости были составлены Л. Эйлером. Рассмотрим равновесие жидкости, находящейся под действием массовых сил и сил гидростатического давления. Выделим внутрипокоящейся жидкости бесконечно малый элемент (рис. 3) со сторонами dx, dy, dz, ориентированными вдоль соответствующих осей координат.

Масса внутреннего элемента жидкости

Для равновесия выделенного элемента жидкости необходимо, чтобы сумма проекций всех действующих сил на любую из координатных осей была равна нулю.

Обозначим через а_х, а_у, а_z проекции ускорений всех массовых сил, отнесенных к единице массы, на оси х, у, z. Тогда проекции всех массовых сил на координатные оси равны

а_хdm. = а_х dx dy dz,

а_уdm = а_у dx dy dz,

а_zdm = a_z dx dy dz.

Так как гидростатическое давление является функцией координат точки, то в направлении каждой оси давление будет изменяться. Так, например, по длине элемента dx будет изменяться только координата х, и приращение давления составит , а давление в конце грани будет

Проекция разности сил гидростатического давления на левую и правую грани выделенного элемента равна

. (2.2)

Аналогично получаем для проекции на другие оси координат

.

Так как кроме рассмотренных других сил нет, то для равновесия массы выделенного элемента силы давления должны уравновешивать массовые силы. В результате получаем систему уравнений равновесия для рассматриваемого объема жидкости

Приведя подобные члены и разделив на dxdydz, получим уравнение равновесия в форме Эйлера

, , (2.3)

где р — искомое давление как функция координат.

Для удобства интегрирования уравнения Эйлера путем умножения каждого соответственно на dx, dy, dz и почленного сложения приводятся к виду

dp = (а_хdx + a_ydy + a_zdz), (2.4)

где dp — полный дифференциал р давления.

Приняв в уравнении (2.4) р = const, получим dp = 0, что приводит к уравнению поверхности равного давления

a_xdx + а_уdy + а_zdz = 0. (2.5)

Частным случаем поверхности равного давления является свободная поверхность жидкости.

Пусть жидкость находится под действием только силы тяжести. В этом случае dx = 0, dy = 0, dz = —g. Подставляя эти значения в (2.5), получим gdz = 0 — уравнение горизонтальной плоскости

dz = const.

Следовательно, в любом горизонтальном сечении покоящейся однородной жидкости давление одинаково.