Определение момента инерции маховика

Цель работы: определение момента инерции твердого тела с помощью закона сохранения энергии.

Теоретическое введение

В работе изучаются такие движения в механике, при которых существенна конечная протяженность тел – их нельзя рассматривать в данных условиях как материальные точки. Если тело является настолько жестким, что деформациями, возникающими при его движении, можно пренебречь, то тело можно рассматривать как недеформируемое, абсолютно твердое (или просто твердое) тело. Взаимное расположение частей абсолютно твёрдого тела остается неизменным во время движения.

Простейшим движением твердого тела является поступательное. Тело перемещается параллельно самому себе; все точки его имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу. При этом кинетическая энергия равна:

, (9.1)

где – скорость тела, – его масса.

Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. Определим кинетическую энергию твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться (рис.9.1); точка О – след этой оси. К одной из точек тела А приложена внешняя сила . Мысленно разделим тело на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. – масса этого элемента, – его расстояние до оси вращения. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Если за время тело поворачивается на угол , то путь , проходимый за это время i-той точкой тела, будет равен . Разделив на , найдем скорость i-той точки:

. (9.2)

Величина есть угловая скорость. Она одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Величина скорости i-того элемента равна:

, (9.3)

а его кинетическая энергия:

(9.4)

Просуммировав эти энергии по всем элементам тела, получим полную кинетическую энергию вращающегося твердого тела:

(9.5)

Стоящая в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, размеров и распределения массы в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерции относительно данной оси и обозначается буквой

(9.6)

Если твердое тело – сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей. Суммирование в (9.6) заменяем интегрированием:

. (9.7)

Так как ( – плотность тела), то вычисление момента инерции сводится к тройному интеглалу по координатам:

. (9.8)

Вычисление таких интегралов в общем случае представляет собой сложную задачу. Лишь для тел симметричной формы при однородном распределении массы по объему тела их моменты инерции определить достаточно просто, если ось вращения проходит через центр масс (шар, цилиндр, диск, стержень). Поэтому моменты инерции сложных тел проще определять экспериментально.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть записана в виде:

(9.9)

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения (9.1), отличаясь от него тем, что вместо скорости стоит угловая скорость , а вместо массы – момент инерции . Так что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Далее кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы энергий поступательного и вращательного движений, если ось вращения проходит через центр инерции тела. Тогда для полной кинетической энергии произвольно движущегося тела имеем:

. (9.10)

Здесь первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного движения, - скорость перемещения центра инерции; второе слагаемое – кинетическая энергия вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции; – момент инерции тела относительно этой оси.

Независимо от характера движения тел (поступательного или вращательного) для замкнутых систем справедлив закон сохранения механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий), если между телами действуют только консервативные силы. Если в замкнутой системе тел действуют и не консервативные силы, например, силы трения, то изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил:

. (9.11)

В данной лабораторной работе используется именно этот закон. Необходимо еще дать определение работы при вращении твердого тела. Выражение для работы при вращении твердого тела вокруг оси легко представить, если продолжить отмеченную аналогию между соотношениями динамики поступательного движения и динамики твердого тела: вместо линейной скорости – угловая скорость ; вместо массы – момент инерции ; вместо силы – момент силы , вместо пути – угол поворота . Тогда вместо соотношения , определяющего работу при поступательном движении, для вращательного движения получим:

. (9.12)