Определение момента инерции маховика

Цель работы:определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

Теоретическое обоснование

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси OO’ (рис. 10.1) называется величина

определение момента инерции маховика - student2.ru определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.1)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - масса k-ой материальной точки, на которые мысленно разбито тело ( определение момента инерции маховика - student2.ru );

определение момента инерции маховика - student2.ru - расстояние от точки до оси.

определение момента инерции маховика - student2.ru

Если масса определение момента инерции маховика - student2.ru сосредоточена в элементарном объёме определение момента инерции маховика - student2.ru , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки определение момента инерции маховика - student2.ru , то определение момента инерции маховика - student2.ru = определение момента инерции маховика - student2.ru определение момента инерции маховика - student2.ru и из уравнения (10.1) для момента инерции можно записать

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.2)

Рис. 10.1. Схема к определению момента инерции

Метод экспериментального определения момента инерции твёрдого тела основан на использовании закона изменения механической энергии системы в процессе её движения. Изменение механической энергии системы

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.3)

где Т – кинетическая энергия системы;

П – собственная потенциальная энергия системы;

Ае – суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему;

Аінкс – суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

В пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы m у поверхности Земли определяется уравнением

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.4)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - ускорение силы тяжести у поверхности Земли (9,81 м/с2);

определение момента инерции маховика - student2.ru - высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии.

Представим работу внешних сил Ае в виде

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.5)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - изменение потенциальной энергии системы во внешнем поле;

определение момента инерции маховика - student2.ru - суммарная работа внешних неконсервативных сил,

Вместо уравнения (10.3) получим

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.6)

Полная механическая энергия системы во внешнем поле будет определяться суммой

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.7)

Определение момента инерции махового колеса в данной лабораторной работе основано на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. На систему «груз + маховик» (рис. 10.2) действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опор, неконсервативные силы тяжести и реакции опор, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и силы трения в опорных стойках. Если пренебречь работой сил сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, то изменение полной механической энергии системы

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.8)

где Атр – работа сил трения в опорах.

 
  определение момента инерции маховика - student2.ru

Рис. 10.2. Принципиальная схема установки:

1 – шкив; 2 – маховое колесо; 3,4 – опоры; 5 – груз

Пусть в начальный момент времени t0 = 0 подвешенный груз массой m находится на высоте h1 от наиболее низкого положения возможного опускания груза. Учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии и пренебрегая массой нити, начальная энергия механической системы будет равна

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.9)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле тяжести и собственной потенциальной энергии системы.

Считаем, что изменение собственной потенциальной энергии в процессе движения пренебрежимо мало. В нижней точке для полной энергии системы при плоском движении получае

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.10)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - скорость подвешенного тела в нижней точке;

определение момента инерции маховика - student2.ru - угловая скорость вращения шкива в момент, соответствующий нижней точке размещения груза;

определение момента инерции маховика - student2.ru - момент инерции маховика относительно оси вращения.

Изменение полной энергии системы с учётом уравнений (10.8) и (10.9)

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.11)

где определение момента инерции маховика - student2.ru - сила трения в опорах (предполагаем, что при движении определение момента инерции маховика - student2.ru )

Сила трения определяется из уравнения (10.8). Вращаясь по инерции, маховое колесо поднимает груз на высоту h2 < h1. Тогда по уравнению (10.8)

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.12)

Складывая (10.11) и (10.12), получаем

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.13)

Откуда сила трения

определение момента инерции маховика - student2.ru . (10.14)

Считая движение груза равноускоренным, его скорость в нижней точке

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.15)

где t – время опускания груза.

Предполагая, что нить сматывается со шкива без проскальзывания, для угловой скорости в момент времени t получаем

определение момента инерции маховика - student2.ru , (10.16)

где r – радиус шкива.

Подставляя формулы (10.14) – (10.16) в уравнение (10.11), получаем формулу для определения момента инерции:

определение момента инерции маховика - student2.ru . определение момента инерции маховика - student2.ru (10.17)

Описание установки

В рассматриваемом случае (см. рис. 10.2) на механическую систему «груз + маховик» действуют внешние консервативные силы тяжести груза 5 и реакции опор 3 и 4, неконсервативные силы тяжести и реакции опор, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения Fтр в опорных стойках 4 и 5 махового колеса 2. Экспериментальная установка (рис. 10.3) состоит из махового колеса 2, установленного в опорах 3 и 4. На валу махового колеса закреплён шкив 1. К шкиву гибкой нерастяжимой нитью прикреплён груз 5 переменной массы. Грузы 5 могут перемещаться на высоту h1 до нижней точки подвеса и, за счёт инерции маховика, подниматься на высоту h2. Время движения груза 5 от верхней точки до нижнего положения определяется секундомером.

определение момента инерции маховика - student2.ru

Рис. 10.3. Общий вид лабораторной установки:

1 – маховое колесо: 2 – шкив (катушка); 3 – нить;

4 – противовес; 5 – заменяемые (переменные) массы;

6 – добавочные переменные массы; 7 – платформа

с опорами

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицы для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Внести в табл. 10.1 массы подвешиваемых грузов m1. (Массы выбиты на телах).

2. Измерить радиус r шкива 1 c помощью штангенциркуля. Результат внести в табл. 10.1

3. Намотать на шкив 1 нить с прикреплённым к его свободному концу грузом 5 (часть гантели, масса которой выбита на ней). Высоту h1 отсчитывать от самого низкого положения, на которое будет опускаться груз 5. Значение высоты h1 внести в табл. 10.1.

4. Определить по секундомеру время t движения груза от верхней точки до нижнего положения (высота h1). Результаты внести в табл. 10.1.

5. Определить высоту h2, на которую поднимется груз 5 за счёт инерции маховика. Результаты внести в табл. 10.1.

6. По формуле (10.17) рассчитать момент инерции махового колеса. Результат внести в табл. 10.1.

7. Повторить пп. 3 – 6 для грузов массой m 2 и m3, кг. Результаты внести в табл. 10.1.

Таблица 10.1

Результаты измерений

Масса груза m, кг m1= m 2= m3=
Радиус шкива r, м  
Высота h1, м  
Время движения груза t, с      
Высота подъёма груза h2, м      
Момент инерции маховика определение момента инерции маховика - student2.ru , кг/м2      

Обработка результатов

1. Вычислить сумму моментов инерции для трёх измерений по формуле

определение момента инерции маховика - student2.ru ,

результат внести в табл. 10.2.

2. Определить среднее арифметическое значение момента инерции маховика по формуле

определение момента инерции маховика - student2.ru ,

результат внести в табл. 10.2.

3. Вычислить отклонения отдельных измерений для каждого значения момента инерции от среднего арифметического по формуле

определение момента инерции маховика - student2.ru ,

результат внести в табл. 10.2.

4. Отклонения возвести в квадрат определение момента инерции маховика - student2.ru , определить сумму определение момента инерции маховика - student2.ru и

результаты внести в табл. 10.2.

5. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение серии измерений для момента инерции по формулам

определение момента инерции маховика - student2.ru ; определение момента инерции маховика - student2.ru ,

результаты внести в табл. 10.2.

6. Определить коэффициент вариации для момента инерции

определение момента инерции маховика - student2.ru

и результат внести в табл. 10.2

7. Вычислить доверительный интервал средних значений измерений для среднего значения момента инерции при доверительной вероятности 0,9, выбрав критерий Стьюдента из табл. 3.1 для числа степеней свободы k = m - 1

определение момента инерции маховика - student2.ru

и результат записать в табл. 10.2.

8. Записать достоверное значение момента инерции и результат внести в табл.10.2 с указанием размерности

определение момента инерции маховика - student2.ru

Таблица 10.2

Вычисляемые величины Результаты вычислений
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru      
определение момента инерции маховика - student2.ru      
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  
определение момента инерции маховика - student2.ru  

Контрольные вопросы

1. Приведите определение момента инерции твёрдого тела.

2. Как определить момент инерции твёрдого тела, если известны плотность материала и объём тела?

3. Дайте определение консервативных и неконсервативных сил механической системы.

4. Как определить изменение механической энергии системы в процессе её движения?

5. Как определить потенциальную энергию тела на небольших высотах от поверхности Земли?

6. Запишите уравнение работы внешних сил механической системы во внешнем силовом поле и объясните входящие в него величины.

7. Запишите уравнение полной механической энергии системы в процессе её плоского движения и объясните входящие в него величины.

8. Как определить изменение полной механической энергии системы при её плоском движении?

9. Запишите уравнение скорости опускающегося тела в его нижней точке.

10. Приведите формулу определения момента инерции твёрдого тела в данной работе и объясните входящие в него величины.

Лабораторная работа № 11

Наши рекомендации