Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru .

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru . Здесь Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , где Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru принимает в области Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru только положительные значения. Тогда двойной интеграл Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru численно равен объему Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru вертикального цилиндрического тела, построенного на основании Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru .

Физический смысл

Если рассматривать перемещение, то первая производная - скорость, вторая - ускорение.
Соответственно, интеграл от ускорения - это скорость, двойной интеграл - перемещение.
Если рассмотреть график ускорения, то двойной интеграл от него - площадь под графиком.

Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Рис. 23.3

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Рис. 23.4

Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru (23.5)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.

Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями: Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru (23.6)

Если область D правильная в направлении ОХ и OY (правильная область), то применимы обе формулы.

Рассмотрим геометрический смысл формулы (23.5), для формулы (23.6) рассуждения аналогичные (вывод формул приведен в [6. С. 310]).

Предположим, что Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru и граница области D является правильной в направлении оси OY.

Из разд. 23.1 Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Подсчитаем теперь объем V методом поперечных сечений (см. п.18.2.1):

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru (23.7)

Проводя через т. (х,0,0) плоскость перпендикулярно оси ОХ, получим в сечении криволинейную трапецию Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

(рис. 23.5), с площадью Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

для точек линии Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru при постоянном х зависит только от у:

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru - (23.8)

площадь поперечного сечения цилиндрического тела. Подставляя (23.8) в (23.7), получаем

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Рис. 23.5

Таким образом, в формуле (23.7) слева и справа имеем объем цилиндрического тела.

Формулы (23.5) и (23.6) выведены в предположении, что область имеет специальный вид.

В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (23.5) или (23.6). Интеграл по всей области (свойство 3°) равен сумме полученных интегралов.

Если область ГУ. Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru то формулы (23.5) и (23.6)

примут вид

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Пример: Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Решение разбивается на три этапа:

1) построение области D;

2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирован ия;

3) вычисление повторного интеграла.

Решая систему Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru находим т. пересечения параболы

и прямой (1, 1), (-2, 4). Строим область, (-2, 4) Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru D (рис. 23.6). Так как область правильная, то можно воспользоваться формулами (23.5) и (23.6).

При решении по (23.5) область придется разбить на две: ОВС и СВА, так как линия ОБА задается разными уравнениями:

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Рис. 23.6

При вычислении по формуле (23.6) приходим к одному повторному интегралу Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru Закончим решение, пользуясь последней формулой:

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Дифференциал уравнения. Основные понятия. Нахождение уравнения по его решению

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , искомую функцию Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru и её производные Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , т. е. уравнение вида

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Если искомая функция Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru есть функция одной независимой переменной Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Когда искомая функция Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru есть функция двух и более независимых переменных, например, если Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , то уравнение вида

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

называется уравнением в частных производных. Здесь Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — неотрицательные целые числа, такие, что Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru .

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , где Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru называется функция Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru , определенная на интервале Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru на Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru . Например, функция Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru является решением уравнения Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru на интервале Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

Подставляя выражения Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru и Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru в дифференциальное уравнение, получим тождество

Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. - student2.ru

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Наши рекомендации