Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (1)

Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (2)

Если в (2) положить Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , то уравнение (2) можно записать в симметричной форме: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (3)

Здесь переменные x и y равноправны.

Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3).

Задача Коши.

 
  Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru

Пусть Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru будет общим решением уравнения (2). Это общее решение определяет семейство интегральных кривых. Для того чтобы из этого семейства выделить какое-либо частное решение, необходимо задать еще дополнительные условия, в частности, частное решение можно выделить путем задания на плоскости точки Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , через которую проходит интересующая нас интегральная кривая. Следовательно, возникает задача отыскания такого решения уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , которое при заданном Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru принимает заданное значение Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru .

Это записывают так: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (4)

Такая задача называется задачей Коши.

Условие Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru называется начальным условием. Начальные условия необходимы для определения соответствующего значения произвольной постоянной С. Покажем на примере как вычисляется С.

Пусть требуется среди решений уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (5)

найти такое, которое при Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru обращается в нуль, т.е. Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru . (6)

Общим решением служит функция Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (7)

Так как требуется, чтобы выполнялось (6), то должно быть Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , а это возможно только при Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию (6), получается из общего решения при Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , т.е. Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru . Это и есть решение задачи Коши.

Основное свойство общего решения:

Общее решение Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru обладает тем свойством, что из него по любому заданному допустимому начальному условию Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Это означает, что подставив в общее решение Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru вместо Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru и Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru вместо Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , получаем уравнение относительно С: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , из которого всегда может быть найдено значение Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru и притом единственное. Функция Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru служит искомым частным решением.

Замечания:

1. Сформулированное основное свойство общего решения справедливо при определенных требованиях, наложенных на функцию Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru . Эти требования даются теоремой существования и единственности.

2. Допустимыми начальными условиями Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru называются такие условия, когда точка Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , где D – область определения функции Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru .

3. Пусть Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru будет общим решением некоторого дифференциального уравнения.

Условие Липшица

Рассмотрим функцию Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , определенную и непрерывную в прямоугольнике К: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru

Определение. Если для любого Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru и любых двух значений Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru и Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru переменной Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru :

Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , существует такое, не зависящее от х число Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , что выполнено неравенство: Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (1), то говорят, что функция Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Замечания:

1. Если Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru в области К имеет непрерывную частную производную Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru (2),

Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru – лежит между Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru и Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru .

В силу непрерывности Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru в К и замкнутости области К, Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru в К ограничена, т.е. Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru .

2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда Дифференциальное уравнение первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. - student2.ru существует не всюду в К.

Наши рекомендации