Интеграл Дюамеля и интеграл наложения

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное на входе цепи воздействие f1(t) с помощью совокупности единичных функций, сдвинутых друг относительно друга на время, равное Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru (рис.13.7).

Реакция цепи f2(t) на каждое ступенчатое воздействие определится как

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

…………………………..

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Результирующую реакцию цепи на систему ступенчатых воздействий найдем по принципу наложения:

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

 
  Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

где п – число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал времени от 0 до t.

Умножим и разделим выражение под знаком суммы на Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru и перейдем к пределу с учетом того, что при Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru →0 k Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru → τ, получим первую форму интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru или

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Вторая форма имеет вид

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Третья и четвертая формы имеют вид:

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru ;

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика h(t). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f1(t) с помощью системы единичных импульсов длительностью dτ c амплитудой f1(τ) и площадью f1(τ) dτ (рис. 13.8).

 
  Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Используя принцип наложения, получим суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Электронные модели цепей

Широкое применение в устройствах импульсной и вычислительной техники находят интегрирующие и дифференцирующие цепи. Они применяются для формирования линейно изменяющихся напряжений и токов, селекции сигналов, линейного преобразования различных импульсов.

Простейшие интегрирующие и дифференцирующие цепи могут быть реализованы, например, на базе RC -цепочки.

Интегрирующей называется цепь, в которой напряжение на выходе цепи пропорционально интегралу входного напряжения. Эта цепь описывается уравнением

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

 
  Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Рассмотрим интегрирующую цепь (рис 13.2).

Здесь входное напряжение подается на RC – цепочку, а выходное снимается с емкости.

Эта цепь будет интегрирующей в том случае, если сопротивление резистивного элемента значительно превышает сопротивление емкостного Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru . То есть параметры этой схемы таковы, что Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru , где tu – длительность входного сигнала.

Согласно второму закону Кирхгофа

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru . (13.3)

Поскольку Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru , то и Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru , тогда напряжением на емкости иС можно пренебречь и считать, что все входное напряжение приложено к резистору Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru . В этом случае ток в цепи можно определить по закону Ома:

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Наряжение на емкости связано с током соотношением

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Подставив сюда выражение для тока, получим

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Дифференцирующей называют такую цепь, напряжение на выходе которой пропорционалино производной от входного напряжения. Эта цепь описывается уравнением

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

 
  Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru

Рассмотрим дифференцирующую цепь (рис. 13.3).

Здесь входное напряжение подается на RC-цепочку, а выходное снимается с резистора.

Эта цепь будет дифференцирующей в том случае, если сопротивление емкостного элемента значительно превышает сопротивление резистивного Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru . То есть параметры этой схемы таковы, что Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

В этом случае Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru , и в выражении 13.3 можно пренебречь напряжением на резисторе и считать, что все входное напряжение приложено к емкости, то есть

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Ток в цепи будет иметь емкостный характер:

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Напряжение на резисторе прямо пропорционально току

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Подставив сюда выражение для тока, получим

Интеграл Дюамеля и интеграл наложения - student2.ru .

Контрольные вопросы и задания

1. В чем состоит спектральный анализ непериодических сигналов?

2. Что собой представляют прямое и обратное преобразования Фурье?

3. Что является спектром сигнала?

4. В чем отличие спектров периодичеких и непериодических сигналов?

5. Дайте определение переходной и импульсной характеристикам.

6. Что собой представляет единичная функция?

7. Что собой представляет δ-функция?

8. Поясните, какова взаимосвязь между переходной и импульсной характеристиками?

9. На чем основан метод расчета с помощью интеграла Дюамеля?

10. На чем основан метод расчета с помощью интеграла наложения?

11. Что собой представляют дифференцирующие схемы?

12. При каких условиях схема будет дифференцирующей?

13. Что собой представляют интегрирующие схемы?

14. При каких условиях схема будет интегрирующей?

Наши рекомендации