Расчетно-графическая работа №1

R_в1=120 (Ом)

R_в2=270 (Ом)

R_в3=210 (Ом)

R_в4=40 (Ом)

R_в5=100 (Ом)

R_в6=82 (Ом)

E_в2=13,2(В)

E_в4=13,2(В)

Решение

Примем направления токов ветвей и контурных токов.

Уравнения для расчета схемы методом контурных токов

(1) (R_в1+ R_в3+ R_в4)I₁ –R_в3I₂ –R_в4I₃ = E_в4

(2) –R_в3I₁ +(R_в2+ R_в3+ R_в5)I₂ –R_в2I₃ = –E_в2

(3) –R_в4I₁ –R_в2I₂ +(R_в2+ R_в4+ R_в6)I₃ = E_в2–E_в4

Подставляя значения элементов схемы из исходных данных получаем систему уравнений:

(1) (120+210+40)I₁–210I₂–40I₃=13,2

(2) –210I₁+(270+ 210+ 100)I₂-270I₃=-13,2

(3) –40I₁-270I₂+(270+ 40+ 82)I₃=0

В результате решения системы уравнений, получены контурные токи:

I₁=0.024 (A);

I₂=-0.019 (A);

I₃=-0.011 (A).

По закону Кирхгофа находим:

I₁₂=I₂=-0,019 (A);

I₁₃=I₁-I₂=0,043 (A);

I₄₁=I₁=0.024 (A);

I₃₄=I₁-I₃=0,034 (A);

I₂₄=I₃=-0,011 (A);

I₂₃=I₂-I₃=-0,0084 (A).

Уравнения для расчета схемы методом узловых напряжений

Определим проводимости сопротивлений g.

Проводимость является величиной обратной сопротивлению, таким образом g=1/R.

g₁=0.00833;

g₂=0.0037;

g₃=0.00476;

g₄=0.025;

g₅=0.01;

g₆=0.012.

Определим проводимость узлов схемы

Проводимостью узла является сумма проводимостей всех ветвей, входящих в узел. Таким образом,

g₁₁=g₁+g₃+g₅=0.023;

g₂₂=g₅+g₂+g₆=0.026;

g₃₃=g₂+g₃+g₄=0.033;

Уравнения для расчета схемы методом узловых напряжений

Φ₁g₁₁- Φ₂g₅- Φ₃g₃ = 0 ;

-Φ₁g₅+ Φ₂g₂₂-Φ₃g₂ = E_в2 g₂;

-Φ₁g₃- Φ₂g₂+ Φ₃g₃₃= -E_в4 g₄- E_в2 g₂;

Подставляя значения элементов схемы получена система уравнений:

0.023Φ₁- 0.01Φ₂- 0.00476Φ₃= 0;

-0.01Φ₁+ 0.026Φ₂- 0.0037Φ₃= 0,049;

-0.00476Φ₁- 0.0037Φ₂+0.033Φ₃=-0.379;

В результате решения системы уравнений, получены узловые потенциалы:

Ф₁=-2.825

Ф₂=-0,894

Ф₃=-11.823

Токи в ветвях схемы

I₄₁=-Ф₁g₁=0.024

I₃₄=(Ф₃+ E_в4)g₄=0.034

I₂₄= Ф₂g₆=-0.011

I₁₃=(Ф₁-Ф₃)g₃=0.043

I₁₂=(Ф₁-Ф₂)g₅=-0,019

I₂₃=(Ф₂-Ф₃- E_в2)g₂=-0.00841

Расчет методом наложений

Разложим заданную схему на две, каждая из которых содержит один источник ЭДС

Рассмотрим схему с источником ЭДС Е_в2

Произведем преобразование треугольника 2-3-5 в звезду с сопротивлениями R₀₁, R₀₃, R₀₄.

R₀₁=(R_в1* R_в3)/(R_в1+R_в3+ R_в4)=(120*210)/(120+210+40)=68.108 (Ом);

R₀₃=(R_в1* R_в4)/( R_в1+R_в3+ R_в4)=(120*40)/( 120+210+40)=22.703 (Ом);

R₀₄=(R_в4* R_в3)/( R_в1+R_в3+ R_в4)=(40*120)/( 210+210+40)=12.973 (Ом);

Эквивалент сопротивления между точками 2-3

R_э32= R₀₃ +( R_в5+ R₀₁)*(R_в6+ R₀₄ )/(R_в5+ R₀₁₊R_в6+ R₀₄)=

=22.703+(100+68.108)*(82+12.973)/ (100+68.108+82+12.973)=83.39 (Ом)

Ток в преобразованной цепи

I₂₃=-E_в2/(R_э32+R_в2)=13,2/(83.39+190)=-0,037 (А)

Токи между узлами 1-2 и 2-4 обратно пропорциональны соответственно сопротивлениям ветвей между узлами 2-0. Таким образом,

I₁₂=I₂₃*(( R_в6+ R₀₄)/ ( R_в5+ R₀₁+R_в6+ R₀₄))=

=-0,037*(( 82+ 12.973)/ ( 100+ 68.108+82+12.973))=-0.013 (A)

I₂₄=-I₂₃*(( R_в5+ R₀₁)/ (R_в5+ R₀₁+R_в6+ R₀₄))=

=0.037*(( 100+ 68.108)/ (100+ 68.108+82+12.973))=0,024 (A)

Преобразование звезды 1-3-5 в треугольник с сопротивлениями R₂₃, R₂₄, R₃₄.

R₂₃=R_в3+ R_в5+R_в3*R_в5/ R_в1=210+100+210*100/120=485 (Ом);

R₃₄=R_в3+ R_в1+R_в3*R_в1/ R_в5=210+120+210*120/100=582 (Ом);

R₂₄=R_в1+ R_в5+R_в1*R_в5/ R_в3=120+100+120*100/210=277.143 (Ом);

Эквивалент сопротивления R_в4||R₃₄

R_в4||R₃₄ = R_в4* R₃₄/( R_в4+ R₃₄)=40*582/(40+582)=37.428 (Ом)

Эквивалент сопротивления R_в4||R₃₄

R_в6||R₂₄ = R_в6* R₂₄/( R_в6+ R₂₄)=82*277.143/(82+277.143)=63.278 (Ом)

Эквивалент сопротивления между точками 3-2

R_э32= R_в4||R₃₄ *R_в6||R₂₄/( R_в4||R₃₄ + R_в6||R₂₄)=

=37.428 *63.278 (37.428 +63.278)=83.39 (Ом)

Ток между точками 2-3

I₂₃=-E_в2/(R_э32+R_в2)=-13,2/(83.39+270)=-0,037 (А)

Токи между узлами 2-3 обратно пропорциональны соответствующим сопротивлениям ветвей. Таким образом, ток через сопротивления R_в4, R₃₄ , R_в6, R₂₄:

I_э23= I₂₃* R₂₃/( R_в4||R₃₄+ R_в6||R₂₄+ R₂₃)=-0,037*485/(37.428+63.278+485)=-0,031 (А)

Ток через сопротивление R_в4

I₃₄= I_э23*R₃₄/ ( R_в4+ R₃₄)=-0,031*582/(40+582)=-0,029 (А)

Ток через сопротивление R_в6

I₂₄= -I_э23*R₂₄/ ( R_в4+ R₃₄)= 0,031*277.143/(40+582)=0,024 (А)

Рассмотрим схему с источником ЭДС Е_в2

Преобразование треугольника 2-3-5 в звезду с сопротивлениями R₀₂, R₀₃, R₀₁.

R₀₂=(R_в2* R_в5)/(R_в2+R_в5+ R_в3)=(270*100)/( 270+100+210)=46.552 (Ом);

R₀₃=(R_в2* R_в3)/( R_в2+R_в5+ R_в3)=(270*210)/( 270+100+210)=97.759 (Ом);

R₀₁=(R_в3* R_в5)/( R_в2+R_в5+ R_в3)=(210*100)/( 270+100+210)=36.207 (Ом);

Эквивалент сопротивления между точками 0-4

R_э04=(R_в1+R₀₁)*(R_в6+R₀₂)/(R_в1+R₀₁+R_в6+R₀₂)=

=(120+36.207)*(82+46.552)/ (120+36.207+ 82+46.552)=70.518 (Ом)

Ток между точками 3-4

I₃₄=E_в4/( R_в4+R₀₃+R_э04)=13,2/(40+97.759+70.518)=0,063 (А)

Токи между узлами 1-4 и 2-4 обратно пропорциональны соответственно сопротивлениям вервей между узлами 0-4. Таким образом,

I₄₁=I₃₄*(( R_в1+ R₀₁)/ ( R_в6+ R₀₂+R_в1+ R₀₁))=

=0.063*(( 120+36.207)/ ( 82+ 46.552+120+36.207))=0.029 (A)

I₂₄=-I₃₄*(( R_в6+ R₀₂)/ (( R_в6+ R₀₂+R_в1+ R₀₁))=

=-0.063*(( 82+ 46.552)/ (( 82+ 46.552+120+36.207))=-0,035 (A)

Преобразование звезды 1-3-5 в треугольник между узлами 2-3-4

R₂₃= R_в3+R_в5+ R_в3*R_в5/ R_в1=210+100+210*100/120=485 (Ом)

R₂₄= R_в1+R_в5+ R_в1*R_в5/ R_в3=120+100+120*100/210=277.143 (Ом)

R₃₄= R_в3+R_в1+ R_в3*R_в1/ R_в5=120+120+120*120/100=582 (Ом)

Эквиваленты сопротивлений между точками 3-2 и 2-4

R_э32=R₂₃*R_в2/(R₂₃+R_в2)=485*270/(485+270)=173.444

R_э24=R₂₄*R_в6/(R₂₄+R_в6)=277.143*82/(277.143+82)=63.278

Ток схемы

I₃₄=E_в4/(R_в4+(R_э32+R_э24)*R₃₄/( R_э32+R_э24+R₃₄))=

=13,2/(40+(173.444+63.278)*582/(173.44+63.278+582))=0,063 (А)

Ток между узлами 2-3

I_е23=I₃₄*R₃₄/(R₃₄+R_э32+R_э24)=0,063*582/(582+173.77+63.278)=0.045 (А)

Ток I₂₃

I₂₃= I_е23*R₂₃/(R₂₃+R_в2)=0,045*485/(485+270)=0.029 (А)

Получены токи:

Ток	Преобразование 1	Преобразование 2	Сумма
I41	-0.005	0.029	0.024
I23	-0.037	0.029	-0.008
I13	0.008	0.032	0.04
I34	-0.029	0.063	0.032
I12	-0.013	-0.006	-0.019
I24	0.024	-0.035	-0.011

Для схемы с источником 1:

I₄₁=I₃₄+I₂₄=-0,029+0,024=-0.005 (A)

I₁₃=I₃₄-I₂₃=-0,029+0,037=0.008 (A)

Для схемы с источником 2

I₁₃= I₃₄-I₂₃=0.063-0,029=0,032(A)

I₁₂= I₂₃+I₂₄=0,029-0,035=-0,006 (A)

Получены токи

I₁₂=-0,013-0,006=-0,019 (А)

I₁₃=0,008+0,0032=0,04(А)

I₂₃=-0,037+0.029=-0,008 (А)

I₃₄=-0,029+0.063=-0,032 (А)

I₂₄=0,024-0.035=-0,011 (А)

I₄₁=-0.005+0,029=0,024 (A)

Мощность источников

Р_ист=E_b2*I₂₃+E_b4*I₃₄=13.2*0,008+13.2*0.032=0,837 (Вт)

Напряжения на резисторах рассчитываются по формуле

U_k=R_k*I_k

Мощности потребителей рассчитываются по формуле

Р_k=R_k*I_k²

Результаты расчетов сведены в таблицу

Номер ветви	Ik (A)	Uk (В)	Рk (Вт)
	Метод контурных токов	Метод узловых напряжений	Метод наложений
	0.024	0.024	0.024	2.825	0.066
	-0,0084	-0.00841	-0.008	7.814	0.226
	0,043	0.043	0.04	8.998	0.386
	0,034	0.034	0.032	1.377	0.047
	-0,019	-0,019	-0.019	-1.931	0.037
	-0,011	-0.011	-0.011	-0.894	0.00974

Итого, суммараная мощность потребителей составила Р_потр=0,773 (Вт)

Определение тока в резисторе R_в4 методом эквивалентного генератора

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора исключен источник Ев1 и произведено преобразование треугольника 2-3-5 в звезду с сопротивлениями R₀₂, R₀₃, R₀₁.

Так как преобразование произведено ранее, использованы результаты предыдущего расчета

R₀₂=46.552 (Ом);

R₀₃=97.759 (Ом);

R₀₁=36.207 (Ом);

Эквивалент сопротивления между точками 0-4

R_э04=(R_в1+R₀₁)*(R_в6+R₀₂)/(R_в1+R₀₁+R_в6+R₀₂)=

=(120+36.207)*(82+46.552)/ (120+36.207+ 82+46.552)=70.518 (Ом)

Сопротивление эквивалентного генератора

R_эг= R₀₃+R_э04=97,759+70,518=168,277 (Ом)

Напряжение холостого хода эквивалентного генератора

Напряжением холостого ходя является разность потенциалов между точками a’, b’

Ф_а’=E_b2*R_в2/( R_в2+R_в3+ R_в5*( R_в6+R_в1)/( R_в5+R_в6+R_в1)=

=13,2*270/(270+210+100*(82+120 )/(100+82+120))=6,517

Ф₁=E_b2*(R_в2+ R_в3)/( R_в2+R_в3+ R_в5*( R_в6+R_в1)/( R_в5+R_в6+R_в1)=

=13,2*(270+210)/(270+210+100*(82+120 )/(100+82+120))=11,586

Ф_b’= Ф₁+(Е_в2- Ф₁)* R_в1/( R_в6+R_в1)=11,586+(13,2-11,586)*120/(82+120)=12,545 (В)

Ток через сопротивление Rв4

I=(-( Ф_b’- Ф_а’)+E_в4)/(R_эг+R_в4)=(-(12.545-6.517)+13.2)/(168,277+40)=0.034 (A)