Показатели, используемые для оценки доходности и риска

Показатель	Формула
Средняя ожидаемая доходность актива	=
Дисперсия актива	σ² =
Стандартное отклонение актива	σ =
Коэффициент вариации
Средняя ожидаемая доходность портфеля
Дисперсия портфеля	σp
Стандартное отклонение портфеля	σp =
Коэффициент корреляции для портфеля, состоящего из двух активов А и В	r = Окончание табл. 6.7
Ковариация для портфеля, состоящего из двух активов А и B	COV= *
Бета коэффициент ценной бумаги
Бета коэффициент портфеля	βр =
Ожидаемая доходность эффективного портфеля (модель САРМ)
Ожидаемая доходность ценной бумаги (модель САРМ)
Коэффициент эффективности У.Шарпа	SD =
Коэффициент риска	Kp =
Размах вариации	R = kmax-kmin

Задачи с решением

1. Имеется следующая оценка совместного вероятностного распределения доходностей от инвестиций в акции компаний А и Б:

Общеэкономическая ситуация	Доходность А, %	Доходность Б, %	Вероятность
Спад	- 10		0,15
Без изменения			0,20
Незначительный подъем			0,30
Существенное оживление			0,35

Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции двух инвестиций.

Определим среднюю доходность акций:

=

Для акции А: = -10*0,15+ 5*0,2 + 10*0,3+20*0,35 = 9,5%

Для акции Б: = 15*0,15+10*0,2+5*0,3 = 5,75%

Определим дисперсию:

σ² =

Для акции А: σ² = (-10-9,5)²*0,15 + (5-9,5)²*0,2 + (10-9,5)²*0,3 + (20-9,5)²*0,35 = 99,75%

Для акции Б: σ² = (15-5,75)²*0,15 + (10-5,75)²*0,2 + (5-5,75)²*0,3 + (0-5,75)²*0,35 = 28,19%

Определим стандартное отклонение:

σ =

Для акции А: σ =

Для акции Б: σ = = 5,31 %

Рассчитаем ковариацию:

COV=

COV=(-10-9,5)*(15-5,75)*0,15 + (5-9,5)*(10-5,75)*0,2 + (10-9,5)*(5-5,75)*0,3 + (20-9,5)*(0-5,75)*0,35 = -52,125%

Определим значение коэффициента корреляции:

r =

Доходности двух инвестиций движутся в противоположных направлениях.

2. Ожидаемая доходность акций А и Б равна соответственно 12 и 25 %. Их среднеквадратическое отклонение равно 5 и 8%. Коэффициент корреляции между доходностями акций равен 0,6. Рассчитайте ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 40% из акций А и на 60% из акций Б. Определите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, состоящего на 60% из акций А и на 40% из акций Б. Сравните полученные результаты.

Определим ожидаемую доходность портфеля, если а = 12%, Ха = 0,4, Хб = 0,6:

= = 12*0,4 + 25*0,6 = 19,8%

Рассчитаем стандартное отклонение портфеля, если σ_а = 5%, σ_б = 8%, r_аб = 0,6:

σ_p = =

Определим те же показатели, но при другой структуре портфеля: Ха=0,6, Хб = 0,4

= 12*0,6 + 25*0,4= 17,2%

σ_p = = 5,55%

Первый портфель имеет более высокие показатели доходности и риска.

3. Инвестор владеет тремя видами акций. Он произвел оценку следующего совместного вероятностного распределения доходностей:

Общеэкономическая ситуация	Вероятность	Доходность акции А	Доходность акции В	Доходность акции С
Спад	0,30	-10
Без изменения	0,20
Незначительный подъем	0,30
Существенное оживление	0,20		-10

Определите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, если инвестор вкладывает 30% средств в акции А, 50% - в акции В, 20% - в акции С. Предполагается, то доходность каждой ценной бумаги является некоррелированной с доходностью остальных ценных бумаг.

Для решения задачи необходимо определить

а) среднюю доходность по акциям А,В,С,

б) дисперсию для этих бумаг,

в) доходность и стандартное отклонение портфеля.

Определим среднюю доходность акций:

=

Для акции А: = -10*0,3+10*0,3+20*0,2 = 4%

Для акции В: = 10*0,3+8*0,2+6*0,3+(-10)*0,2 = 4,4%

Для акции С: = 10*0,2+12*0,3+15*0,2 = 8,6%

Определим дисперсию:

σ² =

Для акции А:

σ² = (-10-4)²*0,3 + (0-4)²*0,2 + (10-4)²*0,3 + (20-4)²*0,2 = 124%

Для акции В:

σ² = (10-4,4)²*0,3 + (8-4,4)²*0,2 + (6-4,4)²*0,3 + (-10-4,4)²*0,2 = 52,37%

Для акции С:

σ² = (0-8,6)*0,3 + (10-8,6)*0,2 + (12-8,6)*0,3 + (15-8,6)*0,2 = 34,24%

Рассчитаем ожидаемую доходность портфеля при условии, что

Xа = 0,3, Xв = 0,5, Xс = 0,2:

= = 4*0,3 + 4,4*0,5 + 8,6*0,2 = 5,12%

Рассчитаем стандартное отклонение портфеля:

σ_p =

Поскольку rij = 0, то

σ_p = = 5,06%

Следовательно, ожидаемая доходность портфеля составит 5,12%, а его стандартное отклонение 5,06%.

4.Портфель инвестора состоит из ценных бумаг со следующими характеристиками:

Актив	Общая рыночная стоимость, руб.	Бета
А	20 000	0,05
Б	4 000	0,90
С	5 000	1,10
Д	9 000	1,20
Е	2 000	1,80

Доходность безрисковых ценных бумаг равна 5%, доходность на рынке в среднем 10%. Определите бета портфеля, доходность портфеля.

Определим долю каждого актива в портфеле:

Ха =

Хб=

Хс=

Хд =

Хе =

Рассчитаем βр:

β_р = = 0,05*0,5+0,9*0,1+1,1*0,125+1,2*0,225+1,8*0,05 = 0,59

Рассчитаем ожидаемую доходность портфеля

Бета- коэффициент портфеля составит 0,59, а его ожидаемая доходность – 7,95%.

5. Пусть в портфель входят две ценные бумаги со следующими характеристиками:

Ценная бумага	Ожидаемая доходность, %	Стандартное отклонение, %	Доля в рыночном портфеле
А			0,40
В			0,60

При условии, что коэффициент корреляции этих ценных бумаг составляет 0,30, а безрисковая ставка равна 5%, определите уравнение рыночной линии.

Определим стандартное отклонение портфеля, если Ха = 0,4, Хб = 0,6, σ_а = 20%, σ_б = 28%, r = 0,3:

= 19,87%

Рассчитаем среднюю доходность рыночного портфеля:

%

Определим уравнение рыночной линии:

_P

6. Компании А и Б планируют вложить денежные средства в ценные бумаги. При этом у А собственные средства составляют 70 млн.руб., а сумма возможного убытка в случае неправильного выбора объекта инвестирования может составить 1,2 млн.руб., у компании Б- 92 млн.руб., и 8 млн. руб. соответственно. Определите, какое из предприятий осуществляет менее рискованное вложение средств.

Для расчета воспользуемся коэффициентом риска:

Kp=

Коэффициент риска для компании А: Kp=

Коэффициент риска для компании Б: Kp=

Поскольку коэффициент риска у компании Б выше, то можно сделать вывод о более рискованном вложении средств со стороны этой компании.

7. По модели САРМ определите ожидаемую доходность акции, если:

- безрисковая ставка доходности составляет 8% годовых,

- среднерыночная ставка доходности финансовых активов – 15%,

- бета - коэффициент составляет 2.5.

Воспользуемся уравнением рыночной линии ценной бумаги:

k_i = k _{RF+ (}k_M - k _RF)*β_i = 8+(15-8)*2,5 = 25,5%