Тема 2.3 Многоразовое начисление процентов

Финансовая математика.

Ершов Дмитрий Евгеньевич

Сборник формул финансовой математики и таблицы дисконтирования. Автор: Ланге.
Сборник задач по финансовой математике. Автор: Ланге.
Краткий курс лекций по финансовой математике. Автор: Ланге.

*Методичкой можно пользоваться на контрольных и экзаменах.

Обязательно: сборник формул, задач и калькулятор с инженерными функциями.

Экзамен: 11 основных задач + 1 дополнительная. 11 задач на 5.0. 90 минут, письменная работа.

Для сравнения стоимости денег в разных периодах, нам необходимо приводить их к одному моменту времени (к ЛЮБОМУ). Можно оценивать только те суммы, которые находятся в одном промежутке времени.

Приводить стоит к тому моменту времени, в котором мы выполним наименьшее количество операций.

Процентная ставка (Р) – каким образом функция времени влияет на сумму денег.

Р = 12% - процентная ставка

i = 0,12 – норма процента

Q = 1+ i = 1,12 – коэффициент наращивания.

i = P/100

Q = 1+i

Тема №2. Исчисления процентов.

Компенсация за одолженный взаймы капитал называется процентом. Размер процентов зависит от начальной суммы капитала (К0), количества процентных периодов (n) и от процентной ставки (p).

Процентная ставка (p) – цена, которую нужно заплатить за 100 денежных единиц в течение одного процентного периода. *Процентный период не обязательно год*.

Формула конечной стоимости при простом начислении процентов:

Kn = K0*(1+in) (формула 2)

Задача: Размер капитала составляет 7500. На капитал начисляются проценты в размере 4% годовых. Каким станет капитал к концу 5 года при простом начислении процентов.

Сложные проценты.

Последующие сложные проценты. Определение.

Проценты, которые к концу процентного периода не снимаются со счета, а добавляются к капиталу и на которой после этого опять начисляются проценты, называются сложными процентами.

Kn = K0 * q^n(формула 4)

Задача: на капитал 7500 начисляются 4 % годовых. Каким станет этот капитал к концу 5 года.

Решение:

Дано: Решение:

K0 = 7500 Kn = K0 * q^n

n = 5 Kn = 7500 * 1,04^5 = 9127, 87

q = 1,04

Kn - ?

Два типа округления:

- Деньги. Округление до сотых: 15,12

- Процентные ставки: i, q. Округление до 5 знаков после запятой: 0,12345

Чем выше процентная ставка, тем больше разница между простым и сложным процентом.

K0 = Kn / q^n(формула 5)

Формула 6

Задача: капитал К0 по истечению 20 лет достиг 5000. Проценты = 4,5 сложных процентов в год. Определить К0.

Решение: K0 = 5000/ 1,045 ^ 20 = 2073, 21

Задача: под какую процентную ставку необходимо вложить капитал, чтобы он удвоился через 10 лет?

Решение: q - ?

N = 10

K0 = x

Kn = 2x

Q (по 6 формуле) = 1, 07177

Ответ: Р = 7, 177

N = log Kn – log K0 / log q(формула 7)

Тема 2.2.2. Предварительные сложные проценты.

Предварительные проценты – проценты с начислением в начале периода.

При предварительном начислении процентов в начале процентного периода к начальному капиталу добавляются проценты конечного капитала.

Kn = K0/(1-i)^n (формула 4V)

K0 = Kn * (1-i)^n (формула 5V)

Задача: процентная ставка составляет 4% годовых. Какой станет фактическая сумма в 3000 через 10 лет при последующем и предварительном начислении ставки процента.

Решение:

I = 0,04

N = 10

K0 = 3000

Kn -?

_______

1) Kn = 3000/(1-0,04)^10= 4512, 41

2) Kn = 3000 * 1,04^10 = 4440, 73

Ответ: Kn предв. = 4512,41; Kn послед. = 4440,73.

*Если не указано какое начисление процентов, то считается последующим начислением (формулы 4,5,6)*

· Альтернативная процентная ставка.

При предварительном начислении процентов используется (иногда) альтернативная процентная ставка, с помощью которой ведутся расчеты с применением формул 4,5,6,7, 8. При этом альтернативная процентная ставка обозначается i*, используется вместо i в формулах 4,5,6,7, 8.

i* = i / 1-i –последующая альтернативная процентная ставка при заданной предварительной процентной ставке I (формула 8).

Решение задач.

Задача №1. Капитал в 10000 инвестируется на 10 лет при 6% сложных процентов. Какой станет сумма возврата? Решить с условием последующего и предварительного начисления процентов.

Решение:

K0 = 10000

N = 10

I = 0,06

Kn - ?

_______

1) Kn = 10000 / (1-0,06)^10 = 18566, 13

2) Kn = 10000 * 1,06^10 = 17908, 47

Ответ: Kn = 17908, 47; Kn = 18566, 13

Задача №2. Бизнесмен обещает за передачу лицензии через 5 лет ее использования выплатить сумму возмещения в размере 10000. Сколько составит фактическая стоимость этой выплаты при 6,5 % годовых?

Дано:

Kn = 10000

q = 1,065

N = 5

K0 - ?

_______

1) K0 = 10000/1,065 = 7298, 84 (формула 5).

Ответ: K0 = 7298, 84

Задача №3. При каком годовом проценте необходимо инвестировать капитал, чтобы он удвоился через 10 лет?

Решение:

Q = (№6) = 107

Ответ: p =

Задача №4. За сколько лет удвоится капитал при 4% сложных процентов. Будет ли время удвоения при высоком проценте короче?

K0 = x

Kn = 2x

Q = 1,04

N - ?_______

N = log 2x – log x / log 1,04 = log 2 / log 1,04 = 17, 67

Ответ: n = 17,67. Да.

Задача №5. Предприятие собирается купить здание. Существует 4 способа оплаты:

1) Наличными, сразу 95000.

2) 115000 через 3 года.

3) 130000 через 6 лет.

4) – 50000 сразу

- 55000 через 2 года.

Сравнить варианты, процентная ставка – 5,5 годовых.

Решение:

График.

1) 95000

2) K0 = Kn / q^n

K0 = 115000 / 1, 055^3 = 97925, 57

3) K0 = 130000 / 1, 055^6 = 94291, 96

4) – 55000 / 1,055^2 = 49414, 88

- 50000 + 49414, 88 = 99414, 88.

Ответ: 3 вариант самый выгодный.

Задача №6. Бизнесмен вкладывает 01.01.1986 г. сумму в 100000 в уставной капитал фирмы. Все свои дивиденды он оставляет на предприятии и изымает свои капиталовложения 31.12.1992 г. При его выходе из компании ему выплачиваются доли капитала в сумме в 145000.

1) Какой станет уровень среднегодового начисления процентов с капитала во время всего срока его участия?

2) Бизнесмен мог бы вложить свой капитал в банк под процентную ставку 6,5 % годовых. Стала бы эта форма вложений выгодной?

Решение:

N = 7 лет

K0 = 100000

Kn = 145000

P - ?

_________

1) Q = (#6) = 1,05451

P = 5, 451 %

2) 6, 5 > 5,5. Да

Д/З Задачи 7,8,9.